Le Compte Est Bon

Le compte est bon est un jeu mathématique issu de l'émission Des chiffres et des lettres (DCDL) dont le but est d'obtenir un nombre cible (généralement compris entre 101 et 999) à partir des 4 opérations élémentaires (+, -, ×, ÷) et de 6 nombres tirés au hasard.

Pour trouver les solutions d'un tirage, la seule méthode est une recherche exhaustive qui teste toutes les combinaisons possibles. Le nombre de calculs augmente de façon exponentielle, ce qui rend l'exploration complète coûteuse pour un ordinateur et difficile à réaliser mentalement.

Pour accélérer le calcul à la main, deux heuristiques sont particulièrement utiles :

— approcher le résultat cible à l'aide de multiplications, puis ajuster avec les petits nombres par addition ou soustraction ;

— décomposer le nombre cible, ou un nombre proche, en deux ou trois facteurs pour orienter les opérations

Ces méthodes ne garantissent pas d’aboutir à une solution, mais elles réduisent nettement la quantité de possibilités à examiner.

Le solveur original reprend les règles du jeu télévisé (des chiffres et des lettres), 6 nombres de départ (tous entiers naturels non nuls), des calculs avec +, -, *, / qui interdisent les divisions non entières (avec des nombres à virgule).

Le solveur amélioré est beaucoup plus permissif, il autorise des contraintes sur les opérateurs, le nombre d'opérations, etc. Il propose aussi de générer une liste de tous les résultats possibles à partir d'un tirage.

Le solveur à N nombres reprend les règles originales mais autorise autant de nombre que désiré. Le résultat retourné n'est pas forcément le plus court. Le temps de calcul peut exploser (des milliards d'itérations) et, si aucune solution n'existe, la recherche ne se termine jamais.

Il existe trois grands types d'algorithme pour résoudre le compte est bon :

Recherche récursive : effectue toutes les opérations à partir de N nombres. Il utilise 2 nombres, et pour chaque opération, réitère avec le résultat de l'opération et les N-2 nombres restants. Cette méthode explore tout l'arbre des calculs possibles mais présente une complexité exponentielle.

Recherche avec mise en cache (mémoïsation) : identique au précédent, il met en mémoire les calculs pour ne pas avoir à les refaire. Cela accélère la recherche mais consomme davantage de mémoire.

Recherche aléatoire (randomisée ou Monte Carlo) : il peut trouver une solution rapidement mais ne fait pas tous les calculs possibles, il peut prouver qu'une solution existe mais ne peut pas prouver qu'elle n'existe pas.

Les nombres négatifs sont généralement ignorés car ils n'influencent pas la résolution. En effet, appliquer l'opérateur - (moins) devant n'importe quel nombre négatif le rend positif.

Les versions physiques du jeu ont 24 plaques :

Le jeu CEB est idéal pour apprendre à faire des calculs dès les classes de CE2, CM1 ou CM2.

Une variante dédiée est le jeu de société Mathador, dont une version physique est ici ici (lien affilié)

dCode fournit les corrigés de tous les jeux de type compte et bon ainsi que leurs variantes.

Plusieurs problèmes mathématiques sont inspirés du compte est bon :

La suite 1, 2, 4, 10, 29, 76, 284, 1413, 7187, 38103, 231051, 1765186, 10539427 ici est définie par a(1)=1 et a(n) le plus petit entier positif qui ne peut pas être obtenu à partir des entiers de 0 à n-1, en utilisant chaque nombre au maximum une fois et les opérateurs +, -, ×, et /.

La suite 1, 2, 4, 11, 34, 152, 1007, 7335, 85761, 812767 ici est définie par a(1)=1 et a(n) le plus petit entier positif qui ne peut pas être obtenu à partir des entiers a(i) avec i < n-1.

La suite 1, 2, 4, 11, 34, 152, 1143, 8285, 98863, 1211572 ici est similaire mais autorise les résultats intermédiaires non entiers.

Le tirage 1, 2, 4, 11, 34, 152 permet de trouver toutes les solutions de 1 à 1006.