Division Matricielle

Question 1

Qu'est-ce qu'une division de matrices ? (Définition)

Answer

En prenant $ M_1 $ une matrice de $ m $ lignes et $ n $ colonnes et $ M_2 $ une matrice carrée de $ n \times n $. L'opération de division matricielle de deux matrices $ M_1/M_2 $ consiste à multiplier la matrice $ M_1 $ par la matrice inverse de $ M_2 $ : $ M_2^{-1} $. $$ M_1/M_2 = M_1 \times M_2^{-1} $$

Question 2

Comment effectuer une division de matrices ?

Answer

Pour calculer une division matricielle, procéder par étapes :

— Vérifier que le nombre de colonnes de la matrice $ M_1 $ est égal au nombre de lignes de la matrice $ M_2 $

— Vérifier que la matrice $ M_2 $ est une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes : 2x2, 3x3, 4x4, NxN).

— Vérifier que la matrice $ M_2 $ est une matrice inversible.

— Calculer l'inverse de la matrice $ M_2 $ noté $ M_2^{-1} $

— Calculer la multiplication matricielle $ M_1 \times M_2^{-1} $$ le résultat obtenu est celui de la division matricielle.

Exemple : Division de matrices 2x2 $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} / \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} . \left( \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Question 3

Comment diviser une matrice par un scalaire ?

Answer

La division d'une matrice $ M=[a_{ij}] $ par un scalaire $ \lambda $ est une matrice de même taille que $ M $ (la matrice initiale), avec chaque élément de la matrice divisé par $ \lambda $.

$$ \frac{M}{\lambda} = [ a_{ij} / \lambda ] $$

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} / 2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$

Division Matricielle