Probabilité de Tirages

En combinatoire, les tirages au sort permettent d'évaluer des probabilités statistiques de sélection d'un sous-ensemble d'objets (billes, cartes, etc.) parmi un ensemble total.

Les modèles mathématiques permettent de prédire la répartition des tirages sans avoir à les réaliser.

La simulation n'est pas nécessaire, les formules mathématiques donnent des résultats exacts.

Soit un ensemble de $ N $ objets dont $ m $ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $ n $ objets et que parmi ces $ n $ objets il y a $ k $ objets qui font partie des $ m $ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$

$ C $ représente l'opérateur de combinaisons.

La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré tous les $ N $ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$

Pour un tirage avec remise, les tirages précédents et suivants sont complètement indépendants. Celà peut paraitre contre-intuitifs, et c'est d'ailleurs une erreur classique que commettent les joueurs de casino ou de loto, mais en aucun cas, le fait qu'un élément ait été tiré lors d'un précédent tirage n'augmente ou ne diminue ses chances d'être tiré au tirage suivant.

Pour un tirage sans remise, par contre, les éléments tirés sont à retirer des tirages suivant, donc la probabilité doit tenir compte de ce changement.