Outil appliquant l'algorithme de Kaprekar. Il utilise un entier N, et range ses chiffres en ordre croissant et décroissant avant de les soustraire.
Algorithme de Kaprekar - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique, Algorithme
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Algorithme de Kaprekar
Calcul par l'Algorithme de Kaprekar
Réponses aux Questions (FAQ)
Comment calculer la suite de Kaprekar ? (Principe de calcul)
La routine de Kaprekar consiste à former à partir d'un nombre $ N $, 2 autres nombres $ N_1 $ et $ N_2 $ en arrangeant les chiffres de $ N $ selon un tri par ordre croissant pour $ N_1 $ et décroissant pour $ N_2 $. Kaprekar forme ensuite un nouveau nombre $ N $ tel que $ N_2-N_1 = N $ et répète le processus jusqu'à arriver à un nombre précédemment trouvé.
Exemple : $ N = 7533 $, $ N_1 = 3357 $, $ N_2 = 7533 $, remplacer $ N $ par $ 7533 - 3357 = 4176 $
$ N = 4176 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ puis remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $
$ N = 6174 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $, ce qui créé boucle infinie sur la constante 6174, qui est la constante de Kaprekar pour 4 chiffres.
Quels sont les constantes et les cycles de Kaprekar ?
Les cycles sont des répétitions de valeurs ou des constantes apparaissant dans l'algorithme en fonction de la taille du nombre $ N $.
| Nombre de chiffres | Constante/Cycle |
|---|---|
| 3 | 495 |
| 4 | 6174 |
| 5 | 53955, 59994 ou 62964, 71973, 83952, 74943 ou 61974, 82962, 75933, 63954 |
| 6 | 420876, 851742, 750843, 840852, 860832, 862632, 642654 ou 631764 ou 549945 |
| 7 | 7509843, 9529641, 8719722, 8649432, 7519743, 8429652, 7619733, 8439552 |
| 8 | 43208766, 85317642, 75308643, 84308652, 86308632, 86326632, 64326654 ou 64308654, 83208762, 86526432 ou 97508421 ou 63317664 |
Lorsqu'un de ces nombre est atteint, soit il reste constant, soit il suit le cycle en bouclant à l'infini.
Comment prouver que 6174 est la seule constante de Kaprekar à 4 chiffres ?
La preuve mathématique de l'existence de 6174 comme seul nombre point fixe de l'algorithme est un peu longue et consiste à dénombrer quelques cas possible et prouver qu'un seul n'a pas de contradiction. La preuve : ici
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Citer comme source bibliographique :
Algorithme de Kaprekar sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 26/12/2024,
