Herramienta para probar la paridad de una función (par o impar): el carácter de la función (su curva) para comprobar las propiedades de simetría.
Función Par o Impar - dCode
Etiqueta(s): Funciones
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Función Par o Impar
Calculadora de funciones pares e impares
Respuestas a preguntas (FAQ)
¿Cuál es la paridad de una función? (Definición)
La paridad de una función es una propiedad que le da a la curva de la función características de simetría (axial o central).
— Una función es par si se verifica la igualdad $$ f(x) = f(-x) $$ para todos los $ x $ del conjunto de definición. Una función par ofrece una imagen idéntica para valores opuestos. Gráficamente esto se traduce en que las abscisas opuestas tienen la misma ordenada, es decir que el eje de ordenadas $ y $ es un eje de simetría de la curva que representa $ f $ .
— Una función es impar si se verifica la igualdad $$ f(x) = -f(-x) $$ para todos los $ x $ del conjunto de definiciones. Una función impar ofrecerá imágenes opuestas para valores opuestos. Gráficamente, esto se traduce en que las abscisas opuestas tienen ordenadas opuestas, es decir que el origen de la marca (0,0) es un centro de simetría de la curva que representa $ f $ . Las funciones impares exhiben simetría rotacional de 180 grados, y sus gráficas giran 180 grados alrededor del origen.
NB: si una función impar se define en 0, entonces pasa por el origen: $ f(0) = 0 $
¿Cómo comprobar que una función es par?
Para determinar/mostrar que una función es par, verifica la igualdad $ f(x) = f(-x) $, si la fórmula es verdadera entonces la función es par.
Ejemplo: Determinar la paridad de $ f(x) = x^2 $ (función cuadrada) en $ \mathbb{R} $, el cálculo es $ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) $, entonces la función cuadrada $ f(x) $ es par.
Estudiar/probar la igualdad para un solo valor como $ f(1) = f(-1) $ no nos permite concluir la paridad, solo decir que 1 y -1 tienen la misma imagen según la función $ f $.
Los polinomios de grado par generalmente son funciones pares.
¿Cómo comprobar que una función es impar?
Para determinar/decir que una función es impar, verifique la igualdad $ f(x) = -f(-x) $, si la fórmula es verdadera entonces la función es par.
NB: Una función impar cancela $ f(x)=0 $ necesariamente en $ x=0 $
Ejemplo: Estudiar si la función es par o impar: $ f(x) = x^3 $ (función cubo) en $ \mathbb{R} $, el cálculo es $ -f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = f(x) $, entonces la función del cubo $ f(x) $ es impar.
Haber demostrado la igualdad para un solo valor como $ f(2) = -f(-2) $ no nos permite concluir que existe imparidad, solo decir que 2 y -2 tienen imágenes opuestas según la función $ f $.
Los polinomios de grado impar son generalmente funciones impares.
¿Cómo comprobar que una función no es par ni impar?
Una función no es par ni impar si ninguna de las dos igualdades anteriores es verdadera, es decir: $$ f(x) \neq f(-x) $$ y $$ f(x) \neq -f(-x) $$
Ejemplo: Determinar la paridad de $ f(x) = x/(x+1) $, primer cálculo: $ f(-x) = -x/(-x+1) = x/(x-1) \neq f(x) $ y segundo cálculo: $ -f(-x) = -(-x/(-x+1)) = -x/(x-1) = x/(-x+1) \neq f(x) $ por lo tanto la función $ f $ no es par ni impar.
¿Cuál es la paridad de funciones trigonométricas (cos, sin, tan)?
En trigonometría, las funciones suelen ser simétricas:
La función coseno $ \cos(x) $ es par.
La función seno $ \sin(x) $ es impar.
La función tangente $ \tan(x) $ es impar.
¿Por qué una función se llama par o impar?
Las expansiones en series enteras o polinomios de funciones pares (respectivamente impares) tienen grados pares (respectivamente impares).
¿Existe alguna función que sea a la vez par e impar?
Sí, la función $ f(x) = 0 $ (función constante cero) es par e impar porque respeta las 2 igualdades $ f(x) = f(-x) = 0 $ y $ f(x) = -f(-x) = 0 $
¿Cómo completar la gráfica de una función par (o impar)?
Toda función par tiene un eje de simetría vertical: el eje de ordenadas $ y $.
Cualquier función impar tiene una simetría central con centro en el origen (0,0).
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