Diviseurs d'un Nombre

Le nombre entier $ b $ (non nul $ b \in \mathbb{N}_{>0} $) est un diviseur du nombre entier $ a $ ($ \in \mathbb{N} $) si il existe un nombre entier $ c $ ($ \in \mathbb{N} $) tel que $ c = a/b $ (NB: $ c $ est un nombre entier, sans virgule).

Dans ce cas, $ c $ est représenté comme une division de $ a $ par $ b $ donc $ b $ est bien un diviseur de $ a $ ($ a $ est divisible par $ b $).

Par équivalence, $ a $ peut être représenté comme une multiplication de $ b $ par $ c $ : $ a = b \times c $, donc $ a $ est un multiple de $ b $ et de $ c $, et donc $ b $ et $ c $ sont des diviseurs de $ a $.

La méthode facile consiste à tester tous les nombres $ n $ entre $ 1 $ et $ \sqrt{N} $ (racine carrée de $ N $) pour voir si le reste de la division de $ N $ par $ n $ est égal à $ 0 $.

Une autre méthode calcule les facteurs premiers et par combinaisons en déduit les facteurs.

Autre ? : utiliser le formulaire en haut de cette page pour avoir la liste des diviseurs de n'importe quel nombre.

Les critères de divisibilités sont des moyens détournés pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans directement faire le calcul. Voici une liste (non exhaustive) des principaux critères de divisibilités (en base 10) :

— Critère de divisibilité par $ 1 $ : tout nombre entier est divisible par $ 1 $

— Critère de divisibilité par $ 2 $ : tout nombre multiple de $ 2 $ possède un chiffre pair pour chiffre des unités, donc le dernier chiffre est $ 0 $ ou $ 2 $ ou $ 4 $ ou $ 6 $ ou $ 8 $.

— Critère de divisibilité par $ 3 $ : tout nombre multiple de $ 3 $ a pour somme des chiffres un nombre qui est aussi multiple de $ 3 $, et par conséquent la racine numérique du nombre est $ 0 $ ou $ 3 $ ou $ 6 $ ou $ 9 $

— Critère de divisibilité par $ 4 $ : tout nombre multiple de $ 4 $ a comme somme du chiffre des unités et du double du chiffre des dizaines un nombre aussi divisible par 4. (Variante) les 2 derniers chiffres(dizaines et unités) de tout nombre multiple de $ 4 $ sont divisibles par $ 4 $ (donc par $ 2 $ puis encore par $ 2 $)

— Critère de divisibilité par $ 5 $ : tout nombre multiple de $ 5 $ pour chiffre chiffre des unités $ 0 $ ou $ 5 $

— Critère de divisibilité par $ 6 $ : tout nombre multiple de $ 6 $ valide les critères de divisibilité par $ 2 $ et par $ 3 $

— Critère de divisibilité par $ 7 $ : tout nombre multiple de $ 7 $ a une somme de son nombre total de dizaines (tous les chiffres sauf le dernier) et de cinq fois son chiffre des unités également divisible par 7 (critère à répéter en boucle)

— Critère de divisibilité par $ 8 $ : tout nombre multiple de $ 8 $ a pour somme du chiffre des unités, du double du chiffre des dizaines et du quadruple du chiffre des centaines un nombre aussi divisible par 8.

— Critère de divisibilité par $ 9 $ : tout nombre multiple de $ 9 $ a pour somme des chiffres un nombre qui est aussi multiple de $ 9 $, et par conséquent la racine numérique du nombre est $ 9 $.

— Critère de divisibilité par $ 10 $ : tout nombre multiple de $ 10 $ a pour dernier chiffre $ 0 $.

Noter N le nombre,

Initialiser la liste des diviseurs

Pour i valant de 2 jusque racine de N,

Tenter de diviser N par i

Si le reste de la division est 0, alors ajouter i à la liste des diviseurs

Fin pour

Retourner la liste des diviseurs

Les nombres qui ont seulement 2 diviseurs sont les nombres premiers. Ils ont comme diviseurs $ 1 $ et eux-mêmes.

Les nombres qui ont 3 diviseurs sont les carrés parfaits des nombres premiers soient 4, 9, 25, 49, etc.

Les nombres qui ont 5 diviseurs sont les nombres de la forme $ a^4 $ avec $ a $ un nombre premier.

Le nombre $ 0 $ a une infinité de diviseurs, car tous les nombres divisent $ 0 $ et le résultat vaut $ 0 $ (excepté pour $ 0 $ lui-même car la division par $ 0 $ n'a pas de sens, il est possible toutefois de dire que $ 0 $ est un multiple de $ 0 $).

$$ \frac{0}{n} = 0, (n \neq 0) $$

Un nombre entier négatif a les mêmes diviseurs que son opposé positif. Les diviseurs de $ \pm N $ sont les diviseurs de $ N $.

Techniquement si $ d $ est un diviseur de $ N $ alors $ -d $ est aussi un diviseur de $ N $, pour éviter les répétitions triviales, les diviseurs négatifs sont ignorés.

Le nombre 1 divise tous les nombres.

Par équivalence, tous les nombres entiers sont multiples de 1.

Définition : Un nombre parfait est un nombre entier naturel N non nul dont la somme des diviseurs (hormis N) est égale à N.

Définition : Un nombre abondant est un nombre entier naturel $ N $ non nul dont la somme des diviseurs (hormis $ N $) est supérieure à $ N $.

Définition : Un nombre superabondant est un nombres qui a plus de diviseurs que n'importe quel nombre plus petit que lui.

Les premiers nombres abondants sont : 1 (1 diviseur), 2 (2 diviseurs), 4 (3 diviseurs), 6 (4 diviseurs), 12 (6 diviseurs), 24 (8 diviseurs), 36 (9 diviseurs), 48 (10 diviseurs), 60 (12 diviseurs), 120 (16 diviseurs), 180 (18 diviseurs), 240 (20 diviseurs), 360 (24 diviseurs), 720 (30 diviseurs), 840 (32 diviseurs), 1260 (36 diviseurs), 1680 (40 diviseurs), 2520 (48 diviseurs), 5040 (60 diviseurs), 10080 (72 diviseurs), 15120 (80 diviseurs), 25200 (90 diviseurs), 27720 (96 diviseurs), 55440 (120 diviseurs), 110880 (144 diviseurs), 166320 (160 diviseurs), 277200 (180 diviseurs), 332640 (192 diviseurs), 554400 (216 diviseurs), 665280 (224 diviseurs), 720720 (240 diviseurs), 1441440 (288 diviseurs), 2162160 (320 diviseurs), 3603600 (360 diviseurs), 4324320 (384 diviseurs), 7207200 (432 diviseurs), 8648640 (448 diviseurs), 10810800 (480 diviseurs), 21621600 (576 diviseurs)

Définition : Un nombre déficient est un nombre entier naturel N non nul dont la somme des diviseurs (hormis N) est inférieure à N.

Deux nombres sont amicaux si la somme de leur diviseurs est la même et si la somme des deux nombres est égale à la somme de leurs diviseurs.

Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre qui a pour diviseurs une liste de donnée nombres.