Division Euclidienne

Question 1

Qu'est-ce qu'une division euclidienne ? (Définition)

Answer

La division Euclidienne est une opération arithmétique qui associe à deux nombres (entiers) : le dividende et le diviseur (non nul), deux autres nombres résultats de l'opération de division : le quotient et le reste.

Elle peut se calculer à la main avec plusieurs étapes (longue division) ou directement à l'aide d'une calculatrice.

Question 2

Comment calculer le quotient de la division euclidienne ?

Answer

Le quotient $ q $ est la partie entière de la division de a/b (ignorant la partie décimale résultante) où a s'appelle le dividende et b le diviseur.

Exemple : Dans la division (ou fraction) $ 43/21 = 2.047619\dots $, le quotient $ q = 2 $ (la partie entière)

Question 3

Comment calculer le reste de la division euclidienne ?

Answer

Le reste $ r $ se calcule $$ r = a - q \times b $$. Il représente ce qui reste après que le plus grand multiple du diviseur possible a été soustrait du dividende (le reste du partage).

Exemple : Soit la division $ 43/21 $, le quotient vaut $ 2 $ donc le reste vaut $ 43 - 21 \times 2 = 1 $, en effet $ 43 = 2 \times 21 + 1 $.

Question 4

Comment retrouver le dividende de la division euclidienne ?

Answer

Pour retrouver le dividende de la division euclidienne, vous pouvez multiplier le quotient par le diviseur et y ajouter le reste. Le dividende $ a $ se calcule donc à partir des autres valeurs $$ a = b \times q + r $$

Question 5

Comment retrouver le diviseur de la division euclidienne ?

Answer

Le diviseur $ b $ se calcule à partir des autres valeurs $$ b = \frac{a - r}{q} $$

Question 6

Comment retrouver le quotient de la division euclidienne ?

Answer

Le quotient $ q $ se calcule à partir des autres valeurs $$ q = \frac{a - r}{b} $$

Question 7

Comment faire en sorte que le reste soit positif ?

Answer

En mathématiques, le reste de la division euclidienne peut être positif ou négatif, mais il est couramment convenu de prendre le reste positif. Si le reste obtenu est négatif, vous pouvez lui ajouter le diviseur pour le rendre positif en retirant 1 au quotient. Pour obtenir un reste positif, prendre comme quotient $ q-1 $, le reste est alors augmenté de $ b $.

Exemple : Si $ a = 15, b = 4 $, alors il est envisageable d'avoir $ q = 4, r = -1 $ (négatif) car $ b \times q + r = 4 \times 4 - 1 = 15 = a $ mais pour avoir un reste positif, prendre $ q = ( 4 - 1 ) = 3 $ ainsi $ r = 3 $ (positif) et $ b \times q + r = 4 \times 3 + 3 = 15 = a $

Question 8

Comment calculer une division avec un nombre à virgule ?

Answer

Une division euclidienne est une division entière, il n'est pas censé y avoir de virgule.

Cependant, si le diviseur ou le dividende à une virgule, il est possible de les multiplier par 10 le dividende et le diviseur autant de fois que nécessaire pour la faire disparaitre.

Exemple : 1.2/3 est équivalent à poser 12/30

Question 9

Comment calculer si le diviseur est plus grand que le dividende ?

Answer

Si le dividende est plus petit que le diviseur alors le résultat de la division est 0 et le reste est le dividende.

Exemple : 5/7 = 0 reste 5

Question 10

Quelle est la différence entre division décimale et division euclidienne ?

Answer

Si la division s'arrête aux nombres entiers (avant la virgule) alors c'est une division euclidienne, sinon c'est une division décimale.

Question 11

Qu'est ce qu'un calcul de modulo ?

Answer

Un calcul de modulo (mod) est une division qui ne s'intéresse qu'au reste.

Exemple : $ 13 \mod 5 \equiv 3 $ (car $ 3 $ est le reste de la division de $ 12 $ par $ 5 $)

Question 12

Pourquoi ces divisions s'appellent euclidiennes ?

Answer

Le nom de division euclidienne vient du mathématicien Euclide.

Question 13

Quelles sont les limites du programme ?

Answer

Le programme n'est pas limité et peut calculer avec des nombres très grands en précision arbitraire.

Division Euclidienne