Outil de calculs de l'opération modulo. Le modulo est l'opération qui calcule le reste de la division euclidienne. La calculatrice de modulo % renvoie le reste de la division entière.
Calculs Modulo N - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Calculs Modulo N
Calcul de modulo (A mod N)
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'un modulo ? (Définition)
Le modulo est le nom d'une opération mathématique qui, pour 2 nombres $ a $ et $ b $, calcule le reste $ r $ de la division euclidienne $ a \div b $. Mathématiquement la relation de congruence entre deux entiers s'écrit $$ a \equiv r \mod{b} $$
Exemple : Un tas de $ a = 123 $ billes se divise en $ b = 10 $ tas de $ 12 $ billes et il reste $ r = 3 $ billes. Donc le calcul modulaire $ 123 $ modulo $ 10 $ est égal à $ 3 $, soit $ 123 \equiv 3 \mod{10} $
L'opérateur de modulo est parfois noté a%b=r avec le signe pourcent %.
Les calculs modulaires sont parfois imagés avec un cercle, comme sur une horloge où les calculs d'heures se font modulo 12 (ou 24) pour les heures et modulo 60 pour les minutes.
Exemple : Il est 3h00, dans 25 heures il sera 4h00, revient au calcul $ 3 + 25 \equiv 4 \mod{12} $ ou encore (3+25)%24=4
L'aiguille des minutes est sur $ 15 $, dans $ 90 $ minutes, elle sera sur $ 45 $, car $ 15 + 90 \equiv 45 \mod{60} $
Comment calculer un modulo A % N ?
Méthode 1: Effectuer la division euclidienne et récupérer la valeur du reste.
Exemple : Calcul de $ A=123 $ modulo $ N=4 $, effectuer la division euclidienne $ 123 / 4 = 30 \text{ r } 3 $ car $ 123 = 30 \times 4 + 3 $ (le quotient vaut $ 30 $ et le reste vaut $ 3 $). La valeur du modulo est la valeur du reste, donc $ 123 \equiv 3 \pmod{4} $.
Il est possible de définir des modulos négatifs (plus rares), dans ce cas $ 123 = 31 \times 4 - 1 $, donc $ 123 \equiv -1 \pmod{4} $.
dCode utilise cette méthode 1 qui s'applique aussi bien aux grand nombres, qu'aux nombres à virgule pour A. Néanmoins, N doit être un entier naturel.
Méthode 2: Effectuer la division entière et calculer la valeur de la différence.
Exemple : Calcul de $ A=123 $ modulo $ N=4 $, faire la division : $ 123/4 = 30.75 $. Récupérer la partie entière : $ 30 $, la multiple par $ N=4 $ : $ 30 \times 4 = 120 $. La différence entre $ 123 $ et $ 120 $ vaut $ 3 $, donc $ 123 \equiv 3 \pmod{4} $.
Comment écrire un calcul modulo ?
Un calcul modulo (du latin modulus) peut s'écrire de différente manières :
En mathématiques, privilégier l'utilisation du symbole de congruence $ \equiv $ et du mot clé mod :
$$ 123 \equiv 3 \mod 10 $$
En informatique, utiliser le symbole % (pourcentage) facilement accessible sur un clavier :
$$ 123 \% 10 = 3 $$
En programmation fonctionnelle, pour les entiers il existe souvent la fonction mod() et pour les nombres à virgule flottante, la fonction fmod().
Sur les calculatrices il est souvent implémenté en fonction mod() :
$$ \mathrm{mod} (123,10) = 3 $$
Dans les tableurs comme Excel, utiliser MOD(A1;A2)
Comment calculer a^b mod n ?
Ce calcul est appelé exponentiation modulaire. Il consiste à calculer le reste de la division de $ a^b $ par $ n $, sans calculer directement $ a^b $. dCode possède un outil dédié à l'exponentiation modulaire.
Comment calculer a^-1 mod n ?
Ce calcul s'appelle un inverse modulaire. L'inverse modulaire de $ a $ modulo $ n $ est le nombre $ x $ tel que $ a \times x \equiv 1 \mod n $. dCode possède un outil dédié aux inverses modulaires.
Où se situe le modulo dans l'ordre des opérateurs ?
Dans la plupart des langages de programmation, l'opérateur % (modulo) a la même priorité que la multiplication et la division, et s'évalue de gauche à droite.
Quelle est la différence entre modulo et congruence ?
Le modulo est une opération (calcul du reste).
La congruence est une relation : $ a \equiv b \mod n $ signifie que $ a $ et $ b $ ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par $ n $
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