Partitions d'un Nombre

Définition : en mathématiques, une partition $ p(N) $ d'un nombre $ N $ est un ensemble des nombres (inférieurs ou égaux à $ N $) dont la somme vaut $ N $.

En 1918, Hardy et Ramanujan ont trouvé une approximation de $ p(n) $ pour de grands nombres $ n $ :

$$ p(n) \sim \frac{1}{4n \sqrt{3}} ~ e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$

Les partitions d'un nombre permettent de résoudre le problème du rendu de monnaie et de lister les façons de rendre la monnaie pour une valeur donnée.

Les partitions distinctes d'un nombre entier sont des partitions où les nombres entiers dans la somme sont tous distincts les uns des autres.

Les partitions non distinctes incluent des nombres répétés.

Les diagrammes de Ferrers sont des représentations graphiques des partitions d'un nombre à l'aide de points ou de cases dans des rangées.

Chaque rangée représente un nombre dans la somme de la partition. Les diagrammes de Ferrers sont une manière visuelle d'étudier les partitions d'un nombre et de comprendre leur structure.

La fonction de partitions, souvent notée $ p(n) $, est une fonction mathématique qui compte le nombre de façons distinctes de partitionner un nombre entier positif $ n $ en une somme de nombres entiers positifs, sans tenir compte de l'ordre des termes. En d'autres termes, $ p(n) $ donne le nombre de partitions différentes d'un nombre donné $ n $.

Les congruences de Ramanujan, découvertes par le mathématicien Srinivasa Ramanujan, sont des congruences particulièrement remarquables qui concernent la fonction de partition p(n).

$$ \begin{align} p(5k+4) & \equiv 0 \pmod{5} \\ p(7k+5) & \equiv 0 \pmod{7} \\ p(11k+6) & \equiv 0 \pmod{11} \end{align} $$