Outil pour générer et explorer les partitions d'un nombre entier. Découvrez en détail la décomposition de tout nombre N en un ensemble de nombres plus petits, dont la somme est égale à N.
Partitions d'un Nombre - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Partitions d'un Nombre
Générateur de Partitions
Dénombrement de Partitions p(N)
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une partition d'un nombre entier ? (Définition)
En mathématiques, une partition d'un nombre $ N $ est un ensemble des nombres (inférieurs ou égaux à $ N $) dont la somme vaut $ N $.
Exemple : Le nombre $ 5 $ peut être décomposé en $ 7 $ partitions distinctes : les additions sont $ 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1 $
Par défaut, les partitions sont composées uniquement des nombres entiers naturels non nuls.
Qu'est ce que la fonction p(N) ?
La fonction de décompte de partition $ p(n) $ dénombre le nombre de partitions d'un entier $ n $.
Les permutations de partitions ne sont pas comptées : $ 4+1 $ et $ 1+4 $ sont considérées identiques
Exemple : Le nombre $ 10 $ possède $ 42 $ décompositions en partitions, $ p(10) = 42 $, et $ p(100) = 190569292 $
Qu'est ce que la formule de Hardy et Ramanujan ?
En 1918, Hardy et Ramanujan ont trouvé une approximation de $ p(n) $ pour de grands nombres $ n $ :
$$ p(n) \sim \frac{1}{4n \sqrt{3}} ~ e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$
Comment lister le nombre de façons de rendre la monnaie ?
Les partitions d'un nombre permettent de résoudre le problème du rendu de monnaie et de lister les façons de rendre la monnaie pour une liste de pièces/billets donnés.
Exemple : Il y a 49 façons de rendre 100€ en billets de 5€, 10€, 20€ ou 50€
Quelle est la différence entre les partitions distinctes et les partitions non distinctes d'un nombre ?
Les partitions distinctes d'un nombre entier sont des partitions où les nombres entiers dans la somme sont tous distincts les uns des autres.
Exemple : 5 = 1+4 = 2+3
Les partitions non distinctes incluent des nombres répétés.
Exemple : 5 = 1+1+1+2 = 1+2+2
Qu'est-ce qu'un diagramme de Ferrers ?
Les diagrammes de Ferrers sont des représentations graphiques des partitions d'un nombre à l'aide de points ou de cases dans des rangées.
Chaque rangée représente un nombre dans la somme de la partition. Les diagrammes de Ferrers sont une manière visuelle d'étudier les partitions d'un nombre et de comprendre leur structure.
Exemple : La partition $ 5 = 3 + 2 $ peut se représenter
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Que sont les congruences de Ramanujan ?
Les congruences de Ramanujan, découvertes par le mathématicien Srinivasa Ramanujan, sont des congruences particulièrement remarquables qui concernent la fonction de partition p(n).
$$ \begin{align} p(5k+4) & \equiv 0 \pmod{5} \\ p(7k+5) & \equiv 0 \pmod{7} \\ p(11k+6) & \equiv 0 \pmod{11} \end{align} $$
Qu'est-ce qu'une partition en parties paires (ou impaires) ?
— Partitions en parties paires : Tous les termes de la partition sont pairs.
— Partitions en parties impaires : Tous les termes de la partition sont impairs.
Exemple : Pour $ n = 4 $, les partitions en parties paires sont $ 4, ; 2+2 $, tandis qu'il n'y a aucune partition en parties impaires.
Qu'est-ce qu'une partition en parts égales ?
C'est une partition où tous les termes sont identiques.
Exemple : Pour $ n = 6 $, la seule partition en parts égales est $ 2+2+2 $
Ces partitions sont prévisible en connaissant la liste des diviseurs du nombres.
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