Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach est une proposition encore non démontrée qui stipule que tout nombre entier pair (strictement supérieur à 2) peut s'écrire comme la somme de 2 nombres premiers.

Informatiquement, elle est vérifiée pour tous les entiers pairs jusqu’à plusieurs milliards de milliard.

La conjecture a été proposée par le mathématicien prussien Christian Goldbach en 1742 dans une lettre à Leonhard Euler.

Comme son nom l'indique c'est une conjecture, ainsi à ce jour elle ne dispose d'aucune démonstration mathématique.

Les mathématiciens la supposent comme vrai, et elle est vérifiée informatiquement jusque des grands nombres mais celà ne prouve pas qu'elle est vraie pour tous les nombres.

De récents travaux comme le théorème de Vinogradov ont montré que certains nombres impairs pouvaient s'exprimer comme la somme de trois nombres premiers. Ou encore Terence Tao qui a démontré que tout nombre impair peut s'écrire comme somme de 5 nombres premiers au plus.

La conjecture faible de Goldbach est une hypothèse en théorie des nombres affirmant que tout nombre impair strictement supérieur à 5 peut être exprimé comme la somme de trois nombres premiers.

Cette conjecture est dite faible car, si la conjecture forte de Goldbach était prouvée, elle entraînerait également la validité de la conjecture faible. En effet, si tout nombre pair supérieur ou égal à 6 peut être décomposé en une somme de deux nombres premiers, rajouter le nombre premier 3 permet d'obtenir une somme de trois nombres premiers, produisant ainsi des nombres impairs supérieurs ou égaux à 9.

Les seules façon de décomposer 2 en somme (appelé liste des partitions de 2) sont : 1+1 et 0+2, comme 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers, il n'est pas possible de vérifier la conjecture de Goldbach pour le nombre 2.

L'algorithme est similaire à celui d'une décomposition en facteurs premiers. Il est possible d'accélérer les calculs en utilisant une liste déjà calculée de nombres premiers.

// Javascript limité à n = 200
var pr = new Array(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97);
function goldback(n) {
for (p in pr) {
if (pr[p] <= n/2 && in_array(n-pr[p], pr)) {
return n+=+pr[p]+++(n-pr[p]);
}
}
}