Outil pour calculer des sous-factorielles. La sous-factorielle !n est le nombre de dérangements, soit le nombre de permutations possibles de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place originale.
Sous-factorielle - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Sous-factorielle
Calcul de Sous-Factorielle !N
Réponses aux Questions (FAQ)
Comment calculer une sous-factorielle ?
La sous-factorielle de $ n $ se calcule par cette formule : $$ !n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$
Exemple : $$ \begin{align} !4 &= 4! ( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} ) \\ &= 4! \times ( 1/1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 ) \\ &= 24 \times 9/24 \\ &= 9 \end{align} $$
Il existe aussi la formule : $$ !n = \left [ \frac {n!}{e} \right ] $$ où les crochets [] signifient un arrondi à l'entier le plus proche.
Exemple : $ 4! / e \approx 24/2.718 \approx 8.829 \Rightarrow !4 = 9 $
Et une relation par récurrence : $$ !n = n \times !(n-1) + (-1)^n $$
Quelles sont les premières valeurs de la fonction sous-factorielle ?
Les premières valeurs pour les premiers entiers naturels sont :
| !1 = 0 |
| !2 = 1 |
| !3 = 2 |
| !4 = 9 |
| !5 = 44 |
| !6 = 265 |
| !7 = 1854 |
| !8 = 14833 |
| !9 = 133496 |
| !10 = 1334961 |
Comment écrire une sous-factorielle ?
La sousfactorielle, comme la factorielle, utilise le point d'exclamation comme symboles mais celui-ci est inscrit à gauche du nombre : $ !n $
Quelle est la précédence de l'opérateur sous-factorielle (ordre des opérations) ?
Par convention, les opérateurs suffixés sont prioritaires (le calcul passe en premier) sur les préfixés, ainsi factoriel (suffixé) est prioritaire sur sousfactorielle (préfixé)
Exemple : $ !3! = !(3!) $
Comment calculer les dérangements ?
Les dérangements sont les permutations auxquelles sont enlevés les points fixes (qu'aucun élément ne se trouve à sa place originale). Le nombre de dérangements pour $ n $ éléments est sous-factorielle de $ n $ : $ !n $.
Exemple : Les $ !4 = 9 $ dérangements de {1,2,3,4} sont {2,1,4,3}, {2,3,4,1}, {2,4,1,3}, {3,1,4,2}, {3,4,1,2}, {3,4,2,1}, {4,1,2,3}, {4,3,1,2}, et {4,3,2,1}.
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Citer comme source bibliographique :
Sous-factorielle sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/02/2025,
