Factorielle

La factorielle d'un nombre $ n $ est le produit des nombres entiers non nuls inférieurs ou égaux à $ n $.

La notation usuelle pour indiquer une factorielle est le point d'exclamation positionné après le nombre : la factorielle de $ n $ est notée $ n! $.

La factorielle calcule par une multiplication

$$ n!=\prod_{k=1}^n k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n $$

La fonction Gamma est un prolongement de la fonction factorielle sur l'ensemble des nombres complexes.

$$ \Gamma(n+1) = \int_0^{+\infty} t^n \exp(-t) \rm{d}t $$

et la formule qui relie gamma a la factorielle :

$$ \forall\,n \in \mathbb{N}, \; \Gamma(n+1)=n! $$

Pour calculer l'équivalent d'une factorielle de nombres négatifs, utiliser la fonction Gamma.

Pour calculer l'équivalent d'une factorielle de fractions ou de nombres à virgule, utiliser la fonction Gamma.

L'algorithme de factorielle avec une boucle : function fact(n) {
f = 1
if (n >= 2) {
for (i = 2 ; i < n; i++) {
f = f * i
}
}
return f
}

L'algorithme récursif de factorielle :function fact(n) {
if (n <= 1)
return 1
else
return fact(n-1)*n
}

Pour de grands nombres, il est possible d'estimer la valeur de $ n! $ avec une bonne précision en utilisant la formule de Stirling. $$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$

Pour calculer le produits de nombres entre $ n $ et $ n + m $, utiliser les factorielles :

$$ \prod_{i=0}^m (n+i) = n(n+1)(n+2)\cdots(n+m) = \frac{(n+m)!}{(n-1)!} $$