Double Factorielle

La double factorielle (aussi appelée semifactorielle) d'un nombre $ n $, souvent notée $ n!! $, est une opération mathématique appliquée à un nombre entier positif $ n $ qui consiste en la multiplication (le produit) de tous les nombres entiers non nuls inférieur ou égaux à $ n $ qui ont la même parité que $ n $.

La formule de la double factorielle est : $$ n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil - 1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots $$

Si $ n $ est un nombre pair (multiple de 2) alors $ n!! $ est la multiplication de tous les multiples de $ 2 $ inférieurs ou égaux à $ n $ (et supérieur à $ 0 $).

Si $ n $ est un nombre impair (non multiple de 2) alors $ n!! $ est la multiplication de tous les nombres non multiples de $ 2 $ inférieurs ou égaux à $ n $ (et supérieur à $ 0 $).

Par convention, la double factorielle de zéro vaut 1 : $ 0!! = 1 $

Les valeurs des premières doubles factorielles : $$ 0!! = 1 \\ 1!! = 1 \\ 2!! = 2 \\ 3!! = 3 \\ 4!! = 8 \\ 5!! = 15 \\ 6!! = 48 \\ 7!! = 105 \\ 8!! = 384 \\ 9!! = 945 \\ 10!! = 3840 $$

Les relations remarquables de la double factorielle avec la factorielle sont :

$$ n! = n!! (n-1)!! $$

$$ n!! = \frac{n!}{(n-1)!!} = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!} $$

Lorsque les deux points d'exclamation sont sur la gauche du nombre, il peut s'agit de la sous factorielle ou de la double sous-factorielle.

$$ !n = n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$

$$ !!n= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\,n!! \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^i}{(n-2 i)!!} $$

Une fonction non récursive pour calculer la factorielle double d'un nombre N est : // Pseudo-code
function doubleFactorial(n) {
if (n == 0 OR n == 1) return 1
result = 1
for i from n down to 2 by 2 {
result = result * i
}
return result
}