Herramienta para calcular las primitivas de funciones. El cálculo de la antiderivada de una función es la operación inversa de la derivada.
Primitivas de una Función - dCode
Etiqueta(s): Funciones, Computación Simbólica
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Primitivas de una Función
Respuestas a preguntas (FAQ)
¿Qué es una primitiva? (Definición)
La primitiva (o integral indefinida, o antiderivada) de una función $ f $ definida en un intervalo $ I $ es una función $ F $ (generalmente señalada en mayúsculas), ella misma definida y derivable en $ I $, cuya derivada es $ f $, es decir, $ F'(x) = f(x) $.
Ejemplo: La primitiva de $ f(x) = x^2+\sin(x) $ es la función $ F(x) = \frac{1}{3}x^3-\cos(x) + C $$ (con $ C $ una constante).
¿Cómo calcular una primitiva/integral?
Calcular las antiderivadas de una función implica encontrar otra función que, cuando se derive, dé la función original.
La forma más sencilla de calcular una primitiva de función es conocer la lista de primitivas comunes y aplicarlas.
dCode conoce todas las funciones y puede calcular una primitiva. Ingrese la función y la variable a integrar y dCode se encarga de calcular las primitivas.
No existe una fórmula directa para calcular una antiderivada de una función. Generalmente es posible expresar primitivas para las funciones habituales (o combinaciones de funciones), pero no existe unicidad de la primitiva (por lo tanto, una infinidad de soluciones) y ciertas primitivas no pueden expresarse como una combinación de funciones habituales.
¿Cuál es la lista de primitivas habituales?
Las primitivas usuales a saber: (con $ C $ cualquier constante)
| Función | Primitiva |
|---|---|
| constante $$ \int a \, \rm dx $$ | $$ ax + C $$ |
| exponente $$ \int x^n \, \rm dx $$ | $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \ne -1 $$ |
| exponente negativo $$ \int \frac{1}{x^n} = \int x^{-n} \, \rm dx $$ | $$ \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C \qquad n \ne 1 $$ |
| inverso $$ \int \frac{1}{x} \, \rm dx $$ | $$ \ln \left| x \right| + C \qquad x \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x-a} \, \rm dx $$ | $$ \ln | x-a | + C \qquad x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \rm dx $$ | $$ -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad n \ne 1 , x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{1+x^2} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arctan}(x) + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \rm dx $$ | $$ \frac{1}{a}\operatorname{arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad a \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{1-x^2} \, \rm dx $$ | $$ \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arcsin} (x) + C $$ |
| $$ \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arccos} (x) + C $$ |
| $$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \, \rm dx $$ | $$ \sqrt{x^2-1} + C $$ |
| logaritmo natural $$ \int \ln (x)\,\rm dx $$ | $$ x \ln (x) - x + C $$ |
| base logarítmica b $$ \int \log_b (x)\,\rm dx $$ | $$ x \log_b (x) - x \log_b (e) + C $$ |
| exponencial $$ \int e^x\,\rm dx $$ | $$ e^x + C $$ |
| $$ \int a^x\,\rm dx $$ | $$ \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad a > 0 , a \ne 1 $$ |
| seno $$ \int \sin(x)\,\rm dx $$ | $$ -\cos(x) + C $$ |
| coseno $$ \int \cos(x)\,\rm dx $$ | $$ \sin(x) + C $$ |
| tangente $$ \int \tan(x)\,\rm dx $$ | $$ -\ln|\cos(x)| + C $$ |
| seno hyperbolique $$ \int \sinh(x)\,\rm dx $$ | $$ \cosh(x) + C $$ |
| coseno hyperbolique $$ \int \cosh(x)\,\rm dx $$ | $$ \sinh(x) + C $$ |
| tangente hyperbolique $$ \int \tanh(x)\,\rm dx $$ | $$ \ln(\cosh(x)) + C $$ |
¿Cuál es la lista de primitivas para combinaciones de funciones?
Otra lista que debes saber para calcular primitivas de funciones combinando funciones habituales y sus derivadas.
| Función | Primitiva |
|---|---|
| fracción de funciones $$ \frac{u^{\prime}}{u} $$ | $$ \ln{|u|} $$ |
| exponencial de funciones $$ \exp(u) \times u^{\prime} $$ | $$ \exp(u) $$ |
| poder de funciones $$ u^{a} \times u^{\prime} $$ | $$ \frac{u^{a+1}}{a+1} $$ |
| seno de funciones $$ \sin(u) \times u^{\prime} $$ | $$ -\cos(u) $$ |
| coseno de funciones $$ \cos(u) \times u^{\prime} $$ | $$ \sin(u) $$ |
| logaritmo de funciones $$ u^{\prime} \times \ln{|u|} $$ | $$ u \times \ln{|u|} -u $$ |
¿Por qué calcular una primitiva?
Las primitivas son útiles en muchas áreas de las matemáticas y la física. Usados en conjunto con la integración, resuelven problemas relacionados con la determinación de áreas bajo curvas, el modelado de fenómenos continuos, el análisis de crecimiento y cambio, así como la resolución de ecuaciones diferenciales.
¿Qué significa +C?
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Primitivas de una Función en dCode.fr [sitio web en línea], recuperado el 2024-11-18,
