Coefficient Binomial

Le coefficient binomial est un nombre qui représente le nombre de façons de choisir $ k $ éléments parmi $ n $ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. En d'autres termes, il mesure le nombre de combinaisons possibles (dénombrement).

Le coefficient binomial s'écrit $ {n \choose k} $ ou $ C_{n}^{k} $ se lit $ k $ parmi $ n $. Généralement $ n $ est le nombre total d'éléments et $ k $ est le nombre d'éléments choisis.

Le coefficient binomial est défini par la formule $$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ avec $ n! $ la factorielle de n.

En pratique, les factorielles ont des valeurs qui se simplifient.

Les valeurs du coefficient binomial apparaissent dans le développement du binome de Newton : $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} $$

La valeur du coefficient binomial $$ \binom{A}{B} $$ se trouve dans le triangle de Pascal à la ligne A, colonne colonne B (en ligne et colonne indexée en 0).

Les formules suivantes sont utilisées pour les coefficients binomiaux:

$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$

$$ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $$

$$ {n \choose k} = {\frac{n}{k}}{n-1 \choose k-1} $$

$$ {n \choose 0} = 1 $$

$$ {n \choose n} = 1 $$

Le coefficient binomial est utilisé principalement dans les calculs de dénombrements et de probabilités. C'est la base de calcul du nombre de combinaisons de k éléments parmi n.