Outil pour calculer les valeurs du coefficient binomial (opérateur de combinaisons) utilisé pour le développement du binôme mais aussi pour les dénombrements ou les probabilités.
Coefficient Binomial - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Coefficient Binomial
Calculateur de Coefficient Binomial
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que le coefficient binomial ? (Définition)
Le coefficient binomial est un nombre qui représente le nombre de façons de choisir $ k $ éléments parmi $ n $ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. En d'autres termes, il mesure le nombre de combinaisons possibles (dénombrement).
Le coefficient binomial s'écrit $ {n \choose k} $ ou $ C_{n}^{k} $ se lit $ k $ parmi $ n $. Généralement $ n $ est le nombre total d'éléments et $ k $ est le nombre d'éléments choisis.
Comment calculer un coefficient binomial ?
Le coefficient binomial est défini par la formule $$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ avec $ n! $ la factorielle de n.
En pratique, les factorielles ont des valeurs qui se simplifient.
Exemple : $ {10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 }{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 $
Pourquoi le coefficient binomial s'appelle ainsi ?
Les valeurs du coefficient binomial apparaissent dans le développement du binome de Newton : $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} $$
Exemple : $$ (x+y)^{4} = x^4 + {4 \choose 1} x^3 y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 3} x y^3 + y^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 $$
Comment calculer le coefficient binomial avec le triangle de Pascal ?
La valeur du coefficient binomial $$ \binom{A}{B} $$ se trouve dans le triangle de Pascal à la ligne A, colonne colonne B (en ligne et colonne indexée en 0).
Quelles sont les propriétés du coefficient binomial ?
Les formules suivantes sont utilisées pour les coefficients binomiaux:
$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$
$$ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $$
$$ {n \choose k} = {\frac{n}{k}}{n-1 \choose k-1} $$
$$ {n \choose 0} = 1 $$
$$ {n \choose n} = 1 $$
Quand utiliser le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial est utilisé principalement dans les calculs de dénombrements et de probabilités. C'est la base de calcul du nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
Exemple : Le nombre de combinaisons au loto est de 5 parmi 49 soit $ {49 \choose 5} = 1906884 $ combinaisons possibles.
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