Outil pour réaliser des calculs de probabilité avec la loi binomiale, nombre de k succès, chances moyenne, etc.
Loi Binomiale - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Loi Binomiale
Probabilité de K succès
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la loi binomiale ? (Définition)
La loi binomiale est un modèle (une loi de probabilité) qui permet une représentation du nombre moyen de succès (ou d'échecs) obtenus avec un répétition d'essais successifs indépendants.
$$ P(X=k) = {n \choose k} \, p^{k} (1-p)^{n-k} $$
avec $ k $ le nombre de succès, $ n $ le nombre d'essai/expériences/tentatives au total, et $ p $ la probabilité de succès (et donc $ 1-p $ la probabilité d'échec).
Quand utiliser la loi binomiale ?
La loi binomiale peut être utilisée dans les situations à 2 éventualités (succès ou échec, vrai ou faux, pile ou face etc) qui peuvent être répétées et indépendantes.
Exemple : Calcul de la probabilité de sortir 4 fois le chiffre 6 lors de 5 lancers de dé successifs : la probabilité $ p $ de faire 6 est de $ 1/6 $, le nombre total d'essai est $ n = 5 $, le nombre de succès attendu est $ k = 4 $. $$ P(X=4) = {5 \choose 4} \, \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{5-4} = {5 \choose 4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{5^2}{6^5} \approx 0.00321 \approx 0.3% $$
Les exercices faisant intervenir la loi binomiale ressemblent à :
— Une personne tire au hasard 10 fois une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'elle tire au moins 7 cartes de couleur rouge ?
— Un joueur de basket réussit 60% de ses lancers francs. Si le joueur tente 10 lancers francs, quelle est la probabilité qu'il en réussisse exactement 8 ?
— Un commerçant a un taux de conversion de 10% sur son site de vente en ligne. Si 200 personnes visitent son site, quelle est la probabilité que 50% effectuent un achat ?
— Un médicament a un taux de réussite de 75% pour soulager une maladie. Si on en administre à 10 patients, quelle est la probabilité qu'au moins 8 patients se sentent mieux après avoir pris le médicament ?
Pourquoi la loi s'appelle binomiale ?
La formule de la loi binomiale fait intervenir le coefficient binomial $ {n \choose k} $ (qui se lit combinaison de $ k $ parmi $ n $).
Elle est parfois appellée distribution binomiale, et est étroitement liée à la loi de Bernoulli.
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