Probabilité de Tirages

En combinatoire, les tirages au sort servent à étudier les probabilités de sélection d'un sous-ensemble d'objets, comme des billes ou des cartes, à partir d'un ensemble plus large.

Grâce aux modèles mathématiques, il est possible de prévoir la manière dont ces tirages se répartissent, sans avoir besoin de les effectuer concrètement. Inutile donc de passer par une simulation : les formules fournissent des résultats précis et exacts.

Soit un ensemble de $N$ objets dont $m$ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $n$ objets et que parmi ces $n$ objets il y a $k$ objets qui font partie des $m$ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} }$$

$C$ représente l'opérateur de combinaisons.

La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $N$ objets au bout de $n$ tirages aléatoires est donné par la formule $$\left(1-\frac{1}{N}\right)^n$$

La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $N$ objets au bout de $n$ tirages aléatoires est donné par la formule $$1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n$$

La probabilité d'avoir tiré tous les $N$ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $n$ tirages aléatoires est donné par la formule $$\sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n$$

Dans un tirage avec remise, chaque tirage est totalement indépendant des autres. Autrement dit, le fait qu'un élément ait été tiré auparavant n'a aucune influence sur la probabilité qu'il soit tiré à nouveau. Cela peut sembler surprenant au premier abord — c'est d'ailleurs une erreur fréquente chez les joueurs de loto ou de casino — mais les chances restent exactement les mêmes à chaque tirage.

En revanche, dans un tirage sans remise, les choses changent : une fois un élément tiré, il n'est plus disponible pour les tirages suivants. La probabilité évolue donc au fur et à mesure, car le nombre total d'éléments diminue.