Probabilités d'Anniversaire

Le paradoxe des anniversaires est un problème mathématique mis en avant par Von Mises. Il répond à la question : quel est le nombre minimal $ N $ de personnes dans un groupe afin qu'il ait 50% de chance qu'au moins 2 personnes partagent un même jour d'anniversaire (couple jour-mois). La réponse est $ N = 23 $, ce qui est assez contre-intuitif, la plupart des gens estiment ce nombre beaucoup plus grand, d'où le paradoxe.

La suite de la FAQ suppose qu'une année possède 365 jours (les années bissextiles du calendrier sont ignorées).

La probabilité est de $ 1/365 \approx 0.0027 \approx 0.27\% $ : en effet il y a 1 chance sur 365 d'être né un jour précis d'une année possédant 365 jours.

NB: la probabilité complémentaire (opposée) qui est de ne pas être né un certain jour de l'année est $ 1-1/365 = 364/365 \approx 0.9973 \approx 99.73\% $, en effet, il y a 364 jours possibles sur 365.

En prenant 2 personnes au hasard, et en les notant A et B, ce calcul revient à poser la question Quelle est la probabilité que B soit né un certain jour de l'année ? ce certain jour étant la date d'anniversaire de naissance de A. La probabilité est toujours de $ 1/365 \approx 0.0027 \approx 0.27\% $

Calculer cette probabilité revient à calculer l'opposé de la probabilité que toutes les personnes soient nées un jour différent (car dans ce cas, au moins 2 seraient nés le même jour).

Pour le plus petit des groupes : N = 2. Ce calcul est explicité ci-dessus dans Quelle est la probabilité que 2 personnes soient nées le même jour ? donc $ P(N=2) \approx 0.27\% $. Noter que cette probabilité est bien l'opposée de la probabilité qu'une personne A soit née un jour différent d'une personne B et peut donc aussi se calculer $$ P(N=2) = 1 - (364/365) = 0.0027 = 0.27\% $$

Pour un groupe plus grand, N=3 composé des personnes A, B et C. Il y a donc 364 chances sur 365 pour que B ne soit pas né le même jour que A et 363 chances sur 365 pour que C ne soit pas né les mêmes jours que A et B. Ainsi, $$ P(N=3) = 1 - (364/365) \times (363/365) \approx 0.82\% $$

De manière identique, $$ P(N=4) = 1 - (364/365) \times (363/365) \times (362/365) \approx 1.64\% \\ P(N=5) = 1 - (364/365) \times \cdots \times (361/365) \approx 2.71\% $$

La formule générale est $$ P(N=n) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right) \times \left(\frac{363}{365}\right) \times \cdots \times \left(\frac{365-(n-1)}{365}\right) $$

Un groupe de 23 personnes a une proba d'environ 0.5 soit 50% (une chance sur 2) que deux personnes aient une date d'anniversaire commune (jour+mois).

$$ P(N=23) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right) \times \left(\frac{363}{365}\right) \times \cdots \times \left(\frac{343}{365}\right) \approx 0.5073 $$

La probabilité que personne ne partage une date d'anniversaire est l'opposé de la probabilité qu'il y en ait (au moins) 2 en commun (voir ci-dessus).

$$ P(N=n) = \left(\frac{364}{365}\right) \times \left(\frac{363}{365}\right) \times \cdots \times \left(\frac{365-(n-1)}{365}\right) $$

En prenant N personnes au hasard numérotées de 1 à N, alors en notant D la date de naissance de la première personne, celà revient à calculer la probabilités que N-1 autres personnes soient nées la date D. Pour la personne 2, la probabilité est $ P = 1/365 \approx 0.0027 \approx 0.27\% $, pour la personne 3, proba égale, $ P = 1/365 $, etc. Les probabilités se multiplient, soit la formule :

$$ P(X=N) = \left( \frac{1}{365} \right)^{N-1} $$

Dans un groupe de N personnes numérotés de 1 à N, si la personne 1 est née une date D, alors calculer l'opposé de la probabilité que les N-1 autres personnes ne soient pas nés la date D.

$$ P(N=n) = 1 - (364/365)^{n-1} $$

Pour une probabilité de 50%, un minimum de 253 personnes seront nécessaires que la probabilité que 2 soient nées un jour précis, soit d'environ 1/2.

NB: La probabilité complémentaire, que toutes les N personnes ne soient pas nées à une date donnée est P = (364/365)^N

Il en faut 366, c'est à dire une personne par pour jour de l'année, plus une personne supplémentaire qui garantit d'obtenir à coup sûr un couple de deux personnes nées le même jour de l'année.

En moyenne, environ $ \frac{1}{365} $ de la population mondiale partage le même jour d'anniversaire.

Avec l'hypothèse d'une population mondiale de 8 milliards de personnes. Il y a donc 8000000000/365 soit environ 22 millions de personnes nées à une date donnée (jour+mois).

En limitant à la France (70 millions d'habitants), il y a 70000000/365 soit presque 200000 personnes françaises nées à une date jour+mois donnée.