Outil de calcul des espaces propres associés aux valeurs propres d'une matrice quelconque (Espaces vectoriels Vect).
Espaces Propres d'une Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Écrire à dCode !
Espaces Propres d'une Matrice
Calculateur d'Espaces Propres
Calculateur de Valeurs Propres
Calculateur de Vecteurs Propres
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'un espace propre d'une valeur propre d'une matrice ? (Définition)
Pour une matrice $ M $ ayant pour valeurs propres $ \lambda_i $, un espace propre $ E $ associé à une valeur propre $ \lambda_i $ est l'ensemble (la base) des vecteurs propres $ \vec{v_i} $ qui ont la même valeur propre.
C'est-à-dire le noyau (kernel ou nullspace) de $ M - I \lambda_i $.
Comment calculer les espaces propres associés à une valeur propre ?
Pour une valeur propre $ \lambda_i $, calculer la matrice $ M - I \lambda_i $ (avec I la matrice identité) (fonctionne aussi en calculant $ I \lambda_i - M $) et calculer pour quel ensemble de vecteur $ \vec{v} $, le produit de ma matrice par le vecteur est égal au vecteur nul $ \vec{0} $
Exemple : La matrice 2x2 $ M = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} $ a pour valeurs propres $ \lambda_1 = -3 $ et $ \lambda_2 = 1 $, le calcul de l'ensemble propre associé à $ \lambda_1 $ est $ \begin{bmatrix} -1 + 3 & 2 \\ 2 & -1 + 3 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ qui a pour solution $ v_1 = -v_2 $. L'espace propre $ E_{\lambda_1} $ est donc l'ensemble des vecteurs $ \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $ de la forme $ a \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} , a \in \mathbb{R} $. L'espace vectoriel s'écrit $ \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $
Comment construire une base pour un espace propre ?
Pour construire une base pour un espace propre associé à ses valeurs propres $ \lambda $ et à ses vecteurs propres $ \vec{v} $ correspondant, sélectionner un ensemble linéairement indépendant de ces vecteurs.
Cet ensemble de vecteurs linéairement indépendants forme une base de l'espace propre.
Code source
dCode se réserve la propriété du code source pour "Espaces Propres d'une Matrice". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Espaces Propres d'une Matrice", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Espaces Propres d'une Matrice" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Espaces Propres d'une Matrice" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android !
Rappel : dCode est gratuit.
Citation
Le copier-coller de la page "Espaces Propres d'une Matrice" ou de ses résultats est autorisée (même pour un usage commercial) tant que vous créditez dCode !
L'exportation des résultats sous forme de fichier .csv ou .txt est gratuite en cliquant sur l'icone export
Citer comme source bibliographique :
Espaces Propres d'une Matrice sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/12/2024,
