Outil de calcul des espaces propres associés aux valeurs propres d'une matrice quelconque (Espaces vectoriels Vect).
Espaces Propres d'une Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Espaces Propres d'une Matrice
Calculateur d'Espaces Propres
Calculateur de Valeurs Propres
Calculateur de Vecteurs Propres
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'un espace propre d'une valeur propre d'une matrice ? (Définition)
Pour une matrice $ M $ ayant pour valeurs propres $ \lambda_i $, un espace propre $ E $ associé à une valeur propre $ \lambda_i $ est l'ensemble (la base) des vecteurs propres $ \vec{v_i} $ qui ont la même valeur propre.
C'est-à-dire le noyau (kernel ou nullspace) de $ M - I \lambda_i $.
Comment calculer les espaces propres associés à une valeur propre ?
Pour une valeur propre $ \lambda_i $, calculer la matrice $ M - I \lambda_i $ (avec I la matrice identité) (fonctionne aussi en calculant $ I \lambda_i - M $) et calculer pour quel ensemble de vecteur $ \vec{v} $, le produit de ma matrice par le vecteur est égal au vecteur nul $ \vec{0} $
Exemple : La matrice 2x2 $ M = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} $ a pour valeurs propres $ \lambda_1 = -3 $ et $ \lambda_2 = 1 $, le calcul de l'ensemble propre associé à $ \lambda_1 $ est $ \begin{bmatrix} -1 + 3 & 2 \\ 2 & -1 + 3 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ qui a pour solution $ v_1 = -v_2 $. L'espace propre $ E_{\lambda_1} $ est donc l'ensemble des vecteurs $ \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $ de la forme $ a \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} , a \in \mathbb{R} $. L'espace vectoriel s'écrit $ \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $
Comment construire une base pour un espace propre ?
Pour construire une base pour un espace propre associé à ses valeurs propres $ \lambda $ et à ses vecteurs propres $ \vec{v} $ correspondant, sélectionner un ensemble linéairement indépendant de ces vecteurs.
Cet ensemble de vecteurs linéairement indépendants forme une base de l'espace propre.
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