Outil pour réduire une matrice à sa forme échelonnée. Une matrice échelonnée a un nombre de zéros en partant de la gauche en augmentation sur chaque ligne.
Matrice Echelonnée - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Matrice Echelonnée
Réduction en Matrice Echelonnée
Réduction RREF avec Modulo
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une matrice échelonnée ? (Définition)
Une matrice échelonnée (reduced row echelon form RREF) est une matrice de la forme $$ \begin{bmatrix} \oplus & * & * & * \\ 0 & 0 & \oplus & * \\ 0 & 0 & 0 & \oplus \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Les $ * $ sont des coefficients quelconques et les $ \oplus $ sont des coefficients appelés pivots non nuls.
Une matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée dont les pivots valent 1 et les dont les coefficients de la colonne du pivot sont valent zéro.
$$ \begin{bmatrix} 1 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Comment transformer une matrice en une forme échelonnée réduite ?
La méthode de transformation d'une matrice quelconque en une matrice échelonnée réduite est réalisée au moyen d'opérations sur les lignes comme :
— la permutation de 2 lignes
— la multiplication d'une ligne par une constante non nulle
— l'addition d'une ligne ou d'un multiple d'une ligne
Exemple : La matrice $ M $ suivante peut se réduire et s'échelonner en 4 étapes : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 8 \end{bmatrix} $$
1/ Permutation des lignes 2 et 3 pour avoir la ligne 3 remplie de $ 0 $.
2/ Multiplication de la nouvelle ligne 2 par 1/2 (ou division par 2) : $ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 \end{bmatrix} $ devient $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} $
3/ soustraction de la ligne 1 à la ligne 2 : $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $
4/ soustraction de 3 fois la ligne 2 à la ligne 1 : $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} - 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} $.
La matrice échelonnée réduite est $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Cette méthode est appelée élimination de Gauss.
Comment échelonner une matrice avec la méthode de Gauss?
dCode a une page sur la méthode d'élimination de Gauss, son résultat est une réduction de la matrice de départ.
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