Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls.
Diagonalisation de Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Diagonalisation de Matrice
Diagonalisation de Matrice
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une matrice diagonale ? (Définition)
Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.
Une matrice carré $ M $ est diagonale si $ M_{i,j} = 0 $ pour tout $ i \neq j $.
Exemple : Une matrice diagonale : $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$
La diagonalisation est une transformation utilisée en algèbre linéaire généralement pour simplifier les calculs (comme des puissances de matrices).
Qu'est ce qu'une matrice diagonalisable ? (Définition)
Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversible $ P $ et une matrice diagonale $ D $ telle que $ M = PDP^{-1} $
Comment diagonaliser une matrice ?
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.
Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres $ 3 $ et $ -1 $ avec pour vecteurs propres respectivement $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $
La matrice diagonale $ D $ est composée des valeurs propres.
Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$
L'ordre des valeurs propres dans $ D $ n'a pas d'importance intrinsèque, mais il doit correspondre à l'ordre des vecteurs propres dans $ P $.
La matrice inversible $ P $ est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
$ P $ doit être une matrice normalisée.
Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$
Comment prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable ?
Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.
Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : $ 5 $ et donc un seul vecteur propre $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ elle n'est donc pas diagonalisable.
Exemple : Une matrice 3x3 avec une valeur propre triple donc un seul vecteur propre n'est pas diagonalisable.
Comment vérifier un calcul de matrice diagonalisée ?
Calculer l'inverse de la matrice $ P $
La diagonalisation doit vérifier $ PDP^{-1} = M $
Qu'est-ce qu'une diagonalisation orthogonale ?
La diagonalisation orthogonale est un type spécifique de diagonalisation de matrice applicable aux matrices symétriques. Elle consiste à exprimer une matrice symétrique $ M $ comme $ M = Q D Q ^ T $ soit le produit d'une matrice orthogonale $ Q $ (donc $ Q.Q^T = Q^T.Q = I $), d'une matrice diagonale $ D $, et de la transposée de $ Q $, notée $ Q^T $.
La diagonalisation orthogonale est utile car elle préserve l'orthogonalité des vecteurs propres et peut simplifier les calculs impliquant des matrices symétriques.
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