Valeurs Propres d'une Matrice

Les valeurs propres d'une matrice carrée $ M $ de taille $ m \times m $ (2x2, 3x3, 4x4, etc.), sont les scalaires notées avec le caractère lambda $ \lambda $ qui sont associés aux vecteurs propres $ \vec{v} $ tels que $$ M.\vec{v} = \lambda \vec{v} $$

En pratique, les valeurs propres $ \lambda $ de la matrice $ M $ sont les racines de son polynôme caractéristique $ P $ car $$ (M-\lambda I_m).\vec{v} = 0 $$ (avec $ I_m $ la matrice identité de taille $ m $).

Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique.

Une matrice carré de dimension/taille $ n $ possède $ n $ valeurs propres. Attention cependant, certaines valeurs propres peuvent être identiques, pour connaitre le nombre de valeurs propres distinctes (sans multiplicité) alors calculer les racines (distinctes) du polynome caractéristique de la matrice.

Les valeurs propres sont des nombres caractérisant une matrice. Ces nombres sont importants car, associés à leur vecteurs propres, ils permettent de déterminer les directions propres de la matrice et de l'exprimer dans une base sous une forme simplifiée (voir diagonalisation de matrice), ce qui facilite les calculs.

Pour déterminer qu'une valeur λ est une valeur propre d'une matrice $ M $, montrer qu'il existe un vecteur non nul $ \vec{x} $ tel que $ M . \vec{x} = \lambda . \vec{x} $. Si cette équation a une solution pour $ \vec{x} $, alors $ \lambda $ est une valeur propre de la matrice $ M $.

Si les racines du polynôme caractéristique n'ont pas des valeurs sur l'ensemble des nombres réels $ \mathbb{R} $ alors elles sont calculées sur l'ensemble des nombres complexes $ \mathbb{C} $ ce qui introduit des valeurs propres complexes.

Ce cas peut se produire même si les valeurs de la matrice sont toutes des nombres réels.

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.