Rang d'une Matrice

Le rang d'une matrice (parfois noté Rg) est principalement défini comme le nombre maximal de vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) qui sont linéairement indépendants.

Le rang d'une matrice est également la dimension du sous-espace vectoriel créé par les vecteurs (soit lignes soit colonnes) de la matrice.

Pour calculer le rang d'une matrice $ M $, comparer chacune des lignes entre elles et chacune des colonnes entre elles afin de vérifier qu'elles sont deux-à-deux linéairement indépendantes.

Le rang d'une matrice renseigne sur plusieurs propriétés de la matrice, notamment :

— Le nombre de solutions du système linéaire associé à la matrice : si le rang de la matrice est égal au nombre de variables, alors le système admet une solution unique. Si le rang est inférieur au nombre de variables, alors le système admet une infinité de solutions.

— L'inversibilité de la matrice : une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à son nombre de lignes (ou de colonnes).

— La dimension de l'espace engendré par les vecteurs de la matrice : le rang d'une matrice est égal à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses vecteurs.

L'ordre est le nombre de lignes et de colonnes qu'elle contient. Le rang d'une matrice renseigne sur sa taille linéaire, qui ne peut pas être plus grande que son ordre.

Le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée.

Le rang d'une matrice nulle est égal à 0, car elle ne contient aucun vecteur non nul.