Outil de calcul de la matrice de Jordan (par réduction de Jordan de matrice carrée) pour obtenir, par décomposition, 2 matrices S et J telles que M = S . J . S̄
Réduction de Jordan (Matrice) - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Réduction de Jordan (Matrice)
Calculatrice de Matrice de Jordan
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice de Jordan ? (Définition)
Une matrice carrée $ M $ de taille $ n \times n $ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est $ n $.
Si $ M $ n'est pas diagonalisable, il existe une matrice quasi-diagonale $ J $, dite matrice de Jordan, qui possède des éléments non nuls sur la diagonale principale et sur la première diagonale au-dessus. Plus précisément, la matrice de Jordan aura les valeurs propres $ \lambda_i $ sur la diagonale et avec des 1 juste au dessus (en cas de multiplicité), soit de la forme normale de Jordan $$ \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} $$
Comment calculer la matrice de Jordan ?
Soit $ M $ une matrice carrée de taille $ n $, qui a pour valeurs propres l'ensemble des $ \lambda_i $.
Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4 $$ Ici, $ M $ a seulement 2 vecteurs propres : $ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ et $ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $, donc n'est pas diagonalisable, mais a pour matrice de Jordan (forme canonique) $$ J = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} $$
Exemple : Méthode alternative: calculer la matrice de passage $ S $ en calculant un troisième vecteur $ v_3 $ tel que $ (M - 3 I_3) v_3 = k_1 v_1 + k_2 v_2 \Rightarrow v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $. Donc $$ S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ et $ M = S . J . S^{-1} $
Qu'est ce que la décomposition de Jordan ?
La décomposition de Jordan c'est l'obtention, à partir d'une matrice $ M $, des matrices $ S $ et $ J $ telles que $ M = S . J . S^{-1} $
Qu'est ce que la réduction de Jordan ?
La réduction est l'opération qui permet de passer de la matrice $ M $ à la matrice de Jordan $ J $ (qui est dite réduite)
Comment calculer une puissance de matrice de Jordan ?
Si $ M = SJS^{-1} $ Alors $ M^k = SJ^kS^{-1} $ (voir les puissances de matrices).
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Citer comme source bibliographique :
Réduction de Jordan (Matrice) sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 17/05/2024,
