Outil pour appliquer la méthode du pivot de Gauss et calculer la matrice échelonnée réduite correspondante, avec les étapes, les détails, la matrice inverse et le vecteur solution.
Elimination de Gauss (Pivot) - dCode
Catégorie(s) : Matrice, Calcul Formel
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Elimination de Gauss (Pivot)
Calcul par Elimination Gaussienne (avec Pivot)
Convertisseur de système d'équation en matrice
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la méthode du pivot de Gauss ?
L'algorithme d'élimination gaussienne (appellée méthode du pivot de Gauss ou Gauss-Jordan) permet de trouver les solutions d'un système d'équations linéaires, et de déterminer l'inverse d'une matrice.
L'algorithme travaille sur les lignes de la matrice, en échangeant ou multipliant les lignes entre elles (à un facteur près).
A chaque étape, l'algorithme a pour but d'introduire dans la matrice, sur les éléments en dehors de la diagonale, des valeurs nulles.
Comment calculer les solutions d'un système d'équations linéaires avec Gauss ?
A partir d'un système d'équations linéaires, la première étape est de convertir les équations en une matrice.
Exemple : $$ \left\{ \begin{array}{} x&-&y&+&2z&=&5\\3x&+&2y&+&z&=&10\\2x&-&3y&-&2z&=&-10\\\end{array} \right. $$ peut s'écrire sous forme de multiplication matricielle : $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 \end{array} \right) . \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ -10 \end{array} \right) $$ ce qui correspond à la matrice (appelée augmentée) $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ 2 & -3 & -2 & -10 \end{array} \right) $$
Puis, pour chaque élément en dehors de la diagonale non nul, réaliser un calcul adéquat en additionnant ou soustrayant les autres lignes afin que l'élément devienne 0.
Exemple : Soustraire 3 fois (Ligne 1) à (Ligne 2) pour que l'élément ligne 2, colonne 1 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 2 & -3 & -2 & -10 \end{array} \right) $$
Soustraire 2 fois (Ligne 1) à (Ligne 3) pour que l'élément ligne 3, colonne 1 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & -1 & -6 & -20 \end{array} \right) $$
Soustraire 1/5 fois (Ligne 2) à (Ligne 3) pour que l'élément ligne 3, colonne 2 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right) $$
Soustraire 1/5 fois (Ligne 2) à (Ligne 1) pour que l'élément ligne 1, colonne 2 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right) $$
Soustraire 1/7 fois (Ligne 3) à (Ligne 1) pour que l'élément ligne 1, colonne 3 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right) $$
Soustraire 5/7 fois (Ligne 3) à (Ligne 2) pour que l'élément ligne 2, colonne 3 soit nul : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right) $$
Simplifier les lignes en divisant par la valeur de la diagonale
Exemple : $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) $$
Le vecteur résultat est la dernière colonne.
Exemple : $ {1,2,3} $ correspondant respectivement à $ {x,y,z} $ soit $ x=1, y=2, z=3 $
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