Racine Carrée

Une racine carrée de $ x $ (ou radical de $ x $) est un concept mathématique noté $ \sqrt{x} $ (ou sqrt(x)) qui fait référence au nombre qui, multiplié par lui-même, produit le nombre $ x $.

Il existe plusieurs méthodes pour calculer une racine carrée.

— Par encadrement à la main : la méthode classique est d'estimer la valeur en calculant quels entiers mis au carré donneraient un intervalle minimal.

— Par extraction des carrés : si le nombre sous la racine se factorise avec des carrés, alors il est possible de les sortir de la racine.

— Avec une calculatrice de racine carrée comme celle de dCode :

Entrer un nombre positif ou négatif (dans ce cas, il possède des racines complexes).

Choisir le format du résultat, soit une valeur exacte (si il s'agit d'entier ou de variables) ou approximative (nombre à virgule avec une précision ajustable en définissant un nombre de chiffres significatif minimum)

Pour tout nombre réel $ a \in \mathbb{R} $

$$ \sqrt{a^2} = |a| $$

Pour tout nombre réel positif $ a \in \mathbb{R}_+ $

$$ \sqrt{a^2} = a \\ \left( \sqrt{a} \right)^2 = a $$

Pour tout nombre $ b $

$$ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \\ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad (b \neq 0) \\ \sqrt{a^2 \times b} = |a| \sqrt{b} $$

La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.

La simplification d'une racine carré passe généralement par la factorisation de la composante sous la racine par un ou plusieur carrés.

Si le dénominateur est un radical, alors multiplier le numérateur et le dénominateur par celui-ci pour la faire disparaitre.

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2} = \frac{a\sqrt{b}}{b} $$

Si le dénominateur est une addition ou soustraction de racines, alors appliquer l'identité remarquable : $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $

$$ \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})} = \frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{c}}{b-c} $$

$$ \frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} = \frac{a\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{b-c} $$

En format Unicode il existe le caractère √ (U+221A).

Dans les formules informatique, la fonction sqrt() est le plus souvent utilisée.

L'exponentiation par la valeur $ 1/2 $ est aussi courante : $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ (exposant 0.5)

Les termes de racine, radix ou radical sont équivalents.

Les racines carrées sont nécessaires dans de nombreux domaines des mathématiques.

Le mot sqrt est généralement utilisé dans les formule pour indiquer une racine carré, ce mot vient de la contraction du mot anglais square root.

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

Si la racine carré d'un nombre $ x $ est un entier alors $ x $ est un carré parfait.

La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. Elle appartient aux nombres complexes et s'écrit sous la forme $ i \sqrt{|a|} $, où $ i $ est l'unité imaginaire, définie par $ i^2 = -1 $.

La racine carrée de zéro est zéro, car $ 0 \times 0 = 0 $

La racine carrée de un est un, car $ 1 \times 1 = 1 $