Outil pour calculer les primitives de fonctions. Le calcul de la primitive d'une fonction est l'opération inverse de la dérivée.
Primitives d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions, Calcul Formel
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Primitives d'une Fonction
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Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une primitive ? (Définition)
La primitive (ou intégrale indéfinie, ou antiderivée) d'une fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $ est une fonction $ F $ (généralement notée en majuscule), elle même définie et dérivable sur $ I $, dont la dérivée est $ f $, c'est à dire $ F'(x) = f(x) $.
Exemple : La primitive de $ f(x) = x^2+\sin(x) $ est la fonction $ F(x) = \frac{1}{3}x^3-\cos(x) + C $ (avec $ C $ une constante).
Comment calculer une primitive/intégrale ?
Le calcul des primitives d'une fonction implique de trouver une autre fonction qui, lorsqu'elle est dérivée, donne la fonction d'origine.
Le moyen le plus simple pour calculer une primitive de fonction est de connaitre la liste des primitives usuelles et de les appliquer.
dCode connait toutes les fonctions et sait calculer une primitive. Entrer la fonction et la variable à intégrer et dCode se charge du calcul de primitives.
Il n'existe pas de formule directe permettant de calculer une primitive à partir d'une fonction. Il est généralement possible d'exprimer des primitives pour les fonctions usuelles (ou des combinaisons de fonctions) mais il n'y a pas unicité de la primitive (donc une infinité de solutions) et certaines primitives ne peuvent pas s'exprimer comme combinaison de fonctions usuelles.
Quelle est la liste des primitives usuelles ?
Les primitives usuelles à connaitre : (avec $ C $ une constante quelconque)
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| constante $$ \int a \, \rm dx $$ | $$ ax + C $$ |
| puissance $$ \int x^n \, \rm dx $$ | $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \ne -1 $$ |
| puissance négative $$ \int \frac{1}{x^n} = \int x^{-n} \, \rm dx $$ | $$ \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C \qquad n \ne 1 $$ |
| inverse $$ \int \frac{1}{x} \, \rm dx $$ | $$ \ln \left| x \right| + C \qquad x \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x-a} \, \rm dx $$ | $$ \ln | x-a | + C \qquad x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \rm dx $$ | $$ -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad n \ne 1 , x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{1+x^2} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arctan}(x) + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \rm dx $$ | $$ \frac{1}{a}\operatorname{arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad a \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{1-x^2} \, \rm dx $$ | $$ \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arcsin} (x) + C $$ |
| $$ \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, \rm dx $$ | $$ \operatorname{arccos} (x) + C $$ |
| $$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \, \rm dx $$ | $$ \sqrt{x^2-1} + C $$ |
| logarithme népérien $$ \int \ln (x)\,\rm dx $$ | $$ x \ln (x) - x + C $$ |
| logarithme base b $$ \int \log_b (x)\,\rm dx $$ | $$ x \log_b (x) - x \log_b (e) + C $$ |
| exponentielle $$ \int e^x\,\rm dx $$ | $$ e^x + C $$ |
| $$ \int a^x\,\rm dx $$ | $$ \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad a > 0 , a \ne 1 $$ |
| sinus $$ \int \sin(x)\,\rm dx $$ | $$ -\cos(x) + C $$ |
| cosinus $$ \int \cos(x)\,\rm dx $$ | $$ \sin(x) + C $$ |
| tangente $$ \int \tan(x)\,\rm dx $$ | $$ -\ln|\cos(x)| + C $$ |
| sinus hyperbolique $$ \int \sinh(x)\,\rm dx $$ | $$ \cosh(x) + C $$ |
| cosinus hyperbolique $$ \int \cosh(x)\,\rm dx $$ | $$ \sinh(x) + C $$ |
| tangente hyperbolique $$ \int \tanh(x)\,\rm dx $$ | $$ \ln(\cosh(x)) + C $$ |
Quelle est la liste des primitives pour des combinaisons de fonctions ?
Une autre liste à connaitre pour calculer des primitives de fonctions combinant des functions usuelles et leurs dérivées
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| fraction de fonctions $$ \frac{u^{\prime}}{u} $$ | $$ \ln{|u|} $$ |
| exponentielle de fonctions $$ \exp(u) \times u^{\prime} $$ | $$ \exp(u) $$ |
| puissance de fonctions $$ u^{a} \times u^{\prime} $$ | $$ \frac{u^{a+1}}{a+1} $$ |
| sinus de fonctions $$ \sin(u) \times u^{\prime} $$ | $$ -\cos(u) $$ |
| cosinus de fonctions $$ \cos(u) \times u^{\prime} $$ | $$ \sin(u) $$ |
| logarithme de fonctions $$ u^{\prime} \times \ln{|u|} $$ | $$ u \times \ln{|u|} -u $$ |
Pourquoi calculer une primitive ?
Les primitives sont utiles dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Utilisée conjointement à l'intégration, elles permettent de résoudre des problèmes liés à la détermination d'aires sous des courbes, à la modélisation de phénomènes continus, à l'analyse de la croissance et du changement, ainsi qu'à la résolution d'équations différentielles.
Que veut dire +C ?
La valeur $ C $ est une constante quelconque. La présence d'une constante dans une primitive n'a pas d'influence sur la valeur de sa dérivée. Ainsi, il existe un nombre infini de primitives possibles, l'ajout de $ + C $ ne changeant pas la dérivée, la plupart du temps prendre $ C = 0 $ simplifie les calculs.
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