Outil de calcul de dérivées de fonction (dérivée simple ou dérivée partielle). Calculatrice formelle à partir d'une expression f(x) de la fonction à dériver.
Dérivée - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Dérivée
Calculateur de Dérivée
Calculateur de Dérivée Partielle
Utiliser le calculateur de dérivée ci-dessus en indiquant une seule variable (celle de la dérivée partielle).
Calculateur de Domaine de Dérivabilité
Calculateur de Primitive
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une dérivée ? (Définition)
La dérivation est un outil fondamental dans l'analyse de fonctions qui permet de mesurer la sensibilité au changement d'une fonction.
Autrement dit, la dérivée d'une fonction est la mesure de la variation de la fonction en un point donné, elle indique dans quelles proportions la fonction change à ce point.
La dérivée d'une fonction $ f $ est notée $ f' $ (avec une apostrophe nommée prime) ou $ \frac{d}{dx}f $ où $ d $ est l'opérateur de dérivée et $ x $ la variable sur laquelle dériver.
Comment calculer une dérivée ?
Le calcul de dérivée (ou dérivée première) applique la formule générale $$ \frac{d}{dx}f = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
En pratique, ce calcul de limite est parfois laborieux, il est plus simple d'apprendre la liste des dérivées usuelles, déjà calculées et connues (voir ci-après).
Sur dCode, le calculateur de dérivée connait toutes les dérivées, indiquer la fonction et les variables sur lesquelles dériver pour obtenir le résultat du calcul de dérivée.
Exemple : $$ f(x) = x^2+\sin(x) \Rightarrow f'(x) = 2 x+\cos(x) $$
Le calcul de dérivée est souvent utilisé en physique pour calculer une vitesse.
Comment calculer une dérivée partielle ?
Une dérivée partielle est une dérivée qui ne s'applique que sur une variable, laissant les autres intactes (les considérant comme des constantes).
Sur dCode, indiquer une seule variable si la fonction en a plusieurs pour obtenir une dérivée partielle.
Pour obtenir toutes les dérivées partielles, réaliser plusieurs calculs, avec la même fonction, mais en changeant la lettre de la variable.
Comment calculer une dérivée croisée ?
Une dérivée croisée est une dérivée partielle par rapport à 2 variables, tout en laissant les autres éventuelles variables inchangées/constantes.
Sur dCode, indiquer les 2 variables l'une après l'autres pour obtenir le résultat d'une dérivée croisée.
Quelle est la liste des dérivées usuelles?
Les dérivées à connaitre sont :
| Nom | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|
| constante/nombre | $$ k \in \mathbb{R} $$ | $$ 0 $$ |
| variable (seule) | $$ x $$ | $$ 1 $$ |
| puissance n (exposant) | $$ x^n $$ | $$ n x^{n-1} $$ |
| puissance négative | $$ x^{-n} $$ | $$ -n x^{-n-1} $$ |
| inverse | $$ \frac{1}{x} $$ | $$ -\frac{1}{x^2} $$ |
| inverse puissance | $$ \frac{1}{x^n} $$ | $$ -\frac{n}{x^{n+1}} $$ |
| racine | $$ \sqrt{x} $$ | $$ \frac {1}{2\sqrt{x}} $$ |
| racine nième | $$ \sqrt[n]x $$ | $$ \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} $$ |
| puissance fractionnaire | $$ x^{1/n} $$ | $$ (1/n)x^{(1/n)-1} $$ |
| logarithme népérien | $$ \ln |x| $$ | $$ \frac{1}{x} $$ |
| logarithme de base a | $$ \log_a |x| $$ | $$ \frac{1}{x \ln a} $$ |
| exponentielle | $$ e^x $$ | $$ e^x $$ |
| exposant x | $$ a^x $$ | $$ a^x \ln a $$ |
| sinus | $$ \sin(x) $$ | $$ \cos(x) $$ |
| cosinus | $$ \cos(x) $$ | $$ - \sin(x) $$ |
| tangente | $$ \tan(x) $$ | $$ \frac{1}{\cos^2(x)} \\ = \sec^2(x) \\ = 1+\tan^2(x) \\ = \frac{2}{1+\cos(2x)} $$ |
| secante | $$ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $$ | $$ \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \\ = \sec(x)\tan(x) \\ = \frac{2\sin(x)}{1+\cos(2x)} $$ |
| cosecante | $$ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $$ | $$ -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \\ = -\cot(x)\csc(x) \\ = \frac{2\cos(x)}{-1+\cos(2x)} $$ |
| cotangente | $$ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} $$ | $$ - \frac{1}{\sin^2(x)} \\ = -1-\cot^2(x) \\ = -\csc^2(x) \\ = \frac{2}{-1+\cos(2x)} $$ |
| arcsinus | $$ \arcsin(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ |
| arccosinus | $$ \arccos(x) $$ | $$ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ |
| arctangente | $$ \arctan(x) $$ | $$ \frac{1}{1+x^2} $$ |
| sinus hyperbolique | $$ \sinh(x) $$ | $$ \cosh(x) $$ |
| cosinus hyperbolique | $$ \cosh(x) $$ | $$ \sinh(x) $$ |
| tangente hyperbolique | $$ \tanh(x) $$ | $$ \frac{1}{\cosh^2(x)} \\ = 1 - \tanh^2(x) $$ |
| cotangente hyperbolique | $$ \coth(x) $$ | $$ \frac{-1}{\sinh^2(x)} \\ = 1 - \coth^2(x) $$ |
| arcsinus hyperbolique | $$ \operatorname{arcsinh}(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$ |
| arccosinus hyperbolique | $$ \operatorname{arccosh}(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $$ |
| arctangente hyperbolique | $$ \operatorname{arctanh}(x) $$ | $$ \frac{1}{1-x^2} $$ |
Quelle est la liste des dérivées des fonctions composées ?
Les dérivées des fonctions composées à connaitre sont :
| Nom | Fonction Composée | Dérivée |
|---|---|---|
| fonction composée | $$ g \circ f $$ | $$ (g' \circ f)\times f' $$ |
| fonction puissance n (exponentiation) | $$ f^n $$ | $$ n f^{n - 1} f' $$ |
| sinus de fonction | $$ \sin(f) $$ | $$ f' \cos(f) $$ |
| cosinus de fonction | $$ \cos(f) $$ | $$ - f' \sin(f) $$ |
| exponentielle de fonction | $$ \exp(f) $$ | $$ f' \exp(f) $$ |
| racine de fonction (fonction positive) | $$ \sqrt{f} $$ | $$ \frac{f'}{2\sqrt{f}} $$ |
| logarithme de fonction (fonction positive) | $$ \ln(f) $$ | $$ \frac{f'}{f} $$ |
Comment calculer une dérivée seconde ?
Une dérivation seconde consiste à dériver deux fois, pour dCode, indiquer deux fois la même variable pour obtenir la dérivée seconde.
Les calculs de dérivée seconde sont souvent utilisé en physique pour calculer une accélération (dérivée de la vitesse).
Quelle est la différence entre dérivée et primitive ?
Le calcul de dérivée est l'opération inverse du calcul de primitive (intégrale indéfinie).
dCode dispose d'un outil de calcul de primitives.
Qu'est-ce qu'un dérivateur ?
Un dérivateur est un opérateur mathématique qui n'a rien à voir avec l'opération de dérivée.
Il est néanmoins possible, par extension, d'appeler l'outil dCode sur cette page un dérivateur en ligne permettant de calculer des dérivées.
Un dériveur, autre nom incorrect, est un bateau.
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Citer comme source bibliographique :
Dérivée sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 17/05/2024,
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- Calculateur de Dérivée Partielle
- Calculateur de Domaine de Dérivabilité
- Calculateur de Primitive
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