Norme d'un Vecteur

La norme d'un vecteur est sa longueur. Si $ A $ et $ B $ sont deux points (d'un espace de dimension $ n $) alors la norme du vecteur, notée avec une double barre $ \|\overrightarrow{AB}\| $, est la distance entre $ A $ et $ B $ (la longueur du segment $ [AB] $).

La valeur absolue est le cas particulier de norme pour un nombre réel (une seule dimension).

Dans un espace vectoriel de dimension $ n $, un vecteur $ \vec{v} $ de composantes $ x_i $ : $ \vec{v} = (x_1, x_2, ..., x_n) $ se calcule par la racine carré de la somme des carrés des composantes : $$ \left\|\vec{v}\right\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_n^2} $$

La norme d'un vecteur peut également se calculer à partir du produit scalaire du vecteur avec lui-même : $ \| \vec{v} \| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } $

Dans le plan 2D, pour un vecteur $ \vec{v} = (x,y) $ la formule se simplifie $$ \|\vec{v}\|= \sqrt{x^2+y^2} $$

Dans l'espace 3D, pour un vecteur $ \vec{u} = (x,y,z) $ la formule se simplifie $$ \|{\vec{u}}\|= \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

A partir des coordonnées des points $ A (x_A,y_A) $ et $ B (x_B,y_B) $ du vecteur $ \overrightarrow{AB} $, les composantes du vecteurs sont $ {\overrightarrow {AB}} = \{ (x_B-x_A), (y_B-y_A) \} $ et donc la norme est $ \|\overrightarrow {AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} $