Matrice Complémentaire

Une matrice carrée $M$ a pour matrice complémentaire $\operatorname{Comp}(M) = ^{\operatorname{t}}\operatorname{Cof}(M)$ soit la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $M$.

La Matrice Complémentaire $\operatorname{Comp}$ de la matrice carrée $M$ se calcule $^{\operatorname t}\operatorname{Cof}$ : la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $M$.

Pour calculer la comatrice $\operatorname{Cof}(M)$, calculer, pour chaque élément de la matrice $M$ en position $(i,j)$, le déterminant de la sous-matrice $SM$ associée (aussi appelé mineur) et multiplier par un facteur $-1$ selon la position dans la matrice.

$$\operatorname{Cof}_{i,j} = (-1)^{i+j}\operatorname{Det}(SM_i)$$

Pour obtenir la matrice complémentaire, prendre la matrice transposée de la comatrice calculée.

Formule pour une matrice 2x2 :

$$M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

$$\operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-c}} \\ {{-b}} & {{a}} \end{bmatrix}$$

$$\operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix}$$

Formule pour une matrice 3x3 :

$$M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

$$\operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$

$$\operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$

La matrice complémentaire est la transposée de la comatrice.