Matrice Complémentaire

Une matrice carrée $ M $ a pour matrice complémentaire $ \operatorname{Comp}(M) = ^{\operatorname{t}}\operatorname{Cof}(M) $ soit la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $ M $.

La Matrice Complémentaire $ \operatorname{Comp} $ de la matrice carrée $ M $ se calcule $ ^{\operatorname t}\operatorname{Cof} $ : la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $ M $.

Pour calculer la comatrice $ \operatorname{Cof}(M) $, calculer, pour chaque élément de la matrice $ M $ en position $ (i,j) $, le déterminant de la sous-matrice $ SM $ associée (aussi appelé mineur) et multiplier par un facteur $ -1 $ selon la position dans la matrice.

$$ \operatorname{Cof}_{i,j} = (-1)^{i+j}\operatorname{Det}(SM_i) $$

Pour obtenir la matrice complémentaire, prendre la matrice transposée de la comatrice calculée.

Formule pour une matrice 2x2 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$

$$ \operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-c}} \\ {{-b}} & {{a}} \end{bmatrix} $$

$$ \operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix} $$

Formule pour une matrice 3x3 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$

$$ \operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$

$$ \operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$

La matrice complémentaire est la transposée de la comatrice.