Matrice des Cofacteurs

La comatrice d'une matrice carrée $ M = [a_{i,j}] $ est notée $ Cof(M) $. Il s'agit de la matrice des cofacteurs soit les mineurs pondérée par un facteur $ (-1)^{i+j} $.

Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice $ SM $ associée (ce déterminant est noté $ \text{Det}(SM) $ ou $ | SM | $ et est aussi appelé mineur. Multiplier alors le mineur par un facteur $ -1 $ selon la position dans la matrice.

$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$

Calcul d'une comatrice 2x2 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$

$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $$

Calcul d'une comatrice 3x3 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$

$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$

La plupart des propriétés de la matrice des cofacteurs concernent en fait sa transposée, la transposée de la matrice des cofacteurs est appelée matrice complémentaire.

$$ A({}^t{{\rm com} A}) = ({}^t{{\rm com} A})A =\det{A} \times I_n $$

$$ A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A} $$

Un cofacteur se calcule à partir du mineur de la sous-matrice.

$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$