Outil pour calculer la matrice des cofacteurs (comatrice) : une matrice composée des déterminants des sous-matrices la composant (aussi appelée mineurs).
Matrice des Cofacteurs - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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La comatrice d'une matrice carrée $ M = [a_{i,j}] $ est notée $ Cof(M) $. Il s'agit de la matrice des cofacteurs soit les mineurs pondérée par un facteur $ (-1)^{i+j} $.
Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice $ SM $ associée (ce déterminant est noté $ \text{Det}(SM) $ ou $ | SM | $ et est aussi appelé mineur. Multiplier alors le mineur par un facteur $ -1 $ selon la position dans la matrice.
$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$
Calcul d'une comatrice 2x2 :
$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $$
Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow Cof(M) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} $$
Calcul d'une comatrice 3x3 :
$$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$
$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$
La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire.
La plupart des propriétés de la matrice des cofacteurs concernent en fait sa transposée, la transposée de la matrice des cofacteurs est appelée matrice complémentaire.
$$ A({}^t{{\rm com} A}) = ({}^t{{\rm com} A})A =\det{A} \times I_n $$
$$ A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A} $$
Un cofacteur se calcule à partir du mineur de la sous-matrice.
$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$
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