Déterminant d'une Matrice

Le déterminant d'une matrice est une valeur associée à une matrice (ou aux vecteur la définissant), notée $ \det(M) $ ou $ |M| $, cette valeur est calculée à partir des coefficients de la matrice et intervient dans divers calculs matriciels.

Pour une matrice carrée d'ordre 2 (2x2), effectuer le calcul :

$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, le déterminant d'ordre 3 se calcule :

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ = aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg $$

Les sous-matrices calculées sont appelées des mineurs de la matrice originale.

L'idée est la même pour les matrices d'ordre supérieur :

Pour une matrice 4x4, le déterminant d'ordre 4 est:

$$ \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o \end{vmatrix} \\ = \\ a(fkp − flo − gjp + gln + hjo − hkn) − b(ekp − elo − gip + glm + hio − hkm) + c(ejp − eln − fip + flm + hin − hjm) − d(ejo − ekn − fio + fkm + gin − gjm) \\ = \\ afkp − aflo − agjp + agln + ahjo − ahkn − bekp + belo + bgip − bglm − bhio + bhkm + cejp − celn − cfip + cflm + chin − chjm − dejo + dekn + dfio − dfkm − dgin + dgjm $$

Il n'existe pas de formule autre que l'explication ci-dessus pour le cas général d'une matrice d'ordre n.

Pour une matrice 1x1, le déterminant est le seul élément de la matrice.

Une matrice identité $ I_n $ a pour déterminant $ 1 $ quelle que soit la valeur de $ n $.

Seul le terme correspond à la multiplication de la diagonale vaudra 1 et les autres termes seront nuls.

La Règle de Sarrus est une méthode pratique permettant de calculer manuellement le déterminant d'une matrice 3×3 de manière rapide en recopiant 2 colonnes :

Le déterminant de M peut se formuler comme $ (aei+bfg+cdh) - (gec+hfa-idb) $, il s'agit d'une soustraction de 2 sommes. La première est composée des multiplication des éléments des trois diagonales principales (de haut en bas, de gauche à droite) $ aei $, $ bfg $ et $ cdh $ et la secondes de la multiplication des éléments des trois diagonales secondaires (de bas en haut, de gauche à droite) $ gec $, $ hfa $ et $ idb $

Le déterminant d'une matrice non carrée n'est pas défini, il n'existe pas selon la définition du déterminant.

Une matrice transposée a le même déterminant que la matrice non transposée et donc une matrice a le même déterminant que sa propre matrice transposée.

Le déterminant d'une matrice $ M $ est le produit de ses valeurs propres (valeurs complexes et éventuelle multiplicité comprises).

Cette propriété est valable pour toute taille de matrice carrée (2x2, 3x3, 4x4, 5x5, etc.)

Une matrice M est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Si $ \det(M) \neq 0 $, alors $ M $ est inversible.

Si deux lignes (ou colonnes) d'une matrice sont identiques, alors son déterminant est nul (et vaut 0).