Trace d'une Matrice

La trace d'une matrice est l'addition des valeurs sur sa diagonale principale (en partant du coin en haut à gauche et en se décalant d'une case vers la droite et vers le bas). Donc la trace d'une matrice carrée utilise ces valeurs :

$$ \begin{bmatrix} X & . & . \\ . & X & . \\ . & . & X \end{bmatrix} $$ ou bien, pour une matrice rectangulaire : $$ \begin{bmatrix} X & . & . \\ . & X & . \end{bmatrix} $$ ou $$ \begin{bmatrix} X & . \\ . & X \\ . & . \end{bmatrix} $$

Pour calculer la trace d'une matrice carrée $ M $ d'ordre $ n $, effectuer la somme de la diagonale (en partant du coin en haut à gauche) :

$$ \mathrm{Tr}(M) = \sum_{i=1}^{n} a_{i \, i} $$

— Avec une matrice 2x2 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+d $$

— Avec une matrice 3x3 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+e+i $$

— Pour une matrice rectangulaire $ M $ de taille $ m \times n $, la diagonale correspond à celle de la matrice carrée incluse (en partant du coin en haut à gauche).

Calcul à partir des valeurs propres d'une matrice : la trace d'une matrice $ M $ est égale à la somme de ses valeurs propres (y compris valeurs complexes et multiplicité).

NB : Le produit des valeurs propres est le déterminant de la matrice.

La trace respecte les propriétés suivantes :

— La trace d'une matrice identité $ I_n $ (d'ordre $ n $) vaut $ n $.

$$ \mathrm{Tr}(I_n) = n $$

— Soient A et B, deux matrices de même ordre (et donc A+B est calculable par addition matricielle) :

$$ \mathrm{Tr}(A + B) = \mathrm{Tr}(A) + \mathrm{Tr}(B) $$

— La trace est invariante pour une permutation cyclique : soient A et B, deux matrices de taille compatibles (et donc A.B est une matrice carré par multiplication matricielle) :

$$ \mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA) \\ \mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(CAB) = \mathrm{Tr}(BCA) $$

mais en général $ \mathrm{Tr}(ABC) \neq \mathrm{Tr}(ACB) \neq \mathrm{Tr}(BAC) $

— Pour c un scalaire donné :

$$ \mathrm{Tr}(c A) = c \mathrm{Tr}(A) $$

— Pour $ A^T $ la matrice transposée de A :

$$ \mathrm{Tr}(A^T) = \mathrm{Tr}(A) $$