Inverse d'une Matrice

L'inverse d'une matrice carrée et inversible $ A $ est une matrice $ A^{-1} $ telle que $ A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I $, où $ I $ est la matrice identité.

L'inverse d'une matrice annule la transformation initiale, ramenant chaque point à sa position d'origine.

L'inverse $ M^{-1} $ d'une matrice carrée $ M $ peut se calculer selon plusieurs méthodes que dCode applique pour toutes tailles de matrice carrée.

— Calcul via la transposée de la matrice des cofacteurs :

$$ M^{-1} = \frac{1}{\det M} \left( \operatorname{cof}(M) \right)^\mathsf{T} = \frac{1}{\det M} \operatorname{comp}(M) $$

Cette formule nécessite de calculer le déterminant de la matrice $ \det M $ ainsi que la transposée de la matrice des cofacteurs (aussi appelée matrice complémentaire $ \operatorname{comp}(M) $).

— Calcul via la méthode du pivot de gauss :

La méthode nécessite d'effectuer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice M afin de la ramener à la matrice identité. Pour obtenir la matrice inverse, effectuer les mêmes opérations mais cette fois à partir de la matrice identité.

Si la matrice est petite, la méthode des cofacteurs ne demande pas trop de calculs et donne une formule générale :

— Pour une matrice d'ordre 1 (1x1) :

$$ M^{-1} = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a} \end{bmatrix} $$

— Pour une matrice d'ordre 2 (2x2) :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \\ \det(M) = ad - bc \\ \operatorname{cof}(M) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} \\ \operatorname{comp}(M) = \left( \operatorname{cof}(M) \right)^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \\ M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} $$

— Pour une matrice d'ordre 3 (3x3) :

$$ M^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} \begin{bmatrix} e i-f h & c h-b i & b f-c e \\ f g-d i & a i-c g & c d-a f \\ d h-e g & b g-a h & a e-b d \end{bmatrix} $$

Former une matrice augmentée en concaténant la matrice A avec la matrice identité correspondante, soit une matrice de la forme [A | I].

Appliquez la méthode du pivot de Gauss pour réduire la partie gauche (matrice A) à une forme échelonnée réduite, en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes.

Si la forme réduite est la matrice identité, alors la partie droite est l'inverse de la matrice A.

Une matrice est inversible si son déterminant est non nul (différent de 0). Donc pour prouver qu'une matrice possède un inverse, calculer le déterminant de la matrice, si il est différent de 0, alors la matrice est inversible.

La matrice doit être carrée (même nombre de ligne et de colonne) et non pas rectangulaire pour être inversible.

Une matrice non inversible est dite singulière (l'inversion n'est pas possible).

Une matrice diagonale est inversible si tous les éléments sur sa diagonale sont non nuls.

L'inverse d'une matrice diagonale est aussi une matrice diagonale.

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2,2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n,n} \end{array} \right) \quad A^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{a_{1,1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2,2}} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \frac{1}{a_{n,n}} \end{array} \right) $$

Une matrice triangulaire est inversible si tous les éléments sur sa diagonale sont non nuls.

L'inverse d'une matrice triangulaire est aussi une matrice triangulaire.

Une matrice avec un déterminant égal à 0 n'est pas inversible. Elle n'a pas d'inverse, il n'est pas possible de calculer son inverse.

L'inverse d'une une matrice orthogonale $ Q $ sa matrice transposée : $ Q^{-1} = Q^T $

La multiplication de la matrice par son inverse doit donner la matrice identité. Soit le calcul de $ M . M^{-1} = I $.

Le principe est identique, mais au lieu de calculer le déterminant, calculer l'inverse modulaire du déterminant de la matrice. Voir le chiffre de Hill.

La résolution d'un système d'équations linéaires $ A \times X = B $ où $ A $ est une matrice inversible, passe par le calcul de l'inverse de $ A $, la matrice $ A^{-1} $ obtenue peut alors être multipliée des deux côtés de l'équation pour obtenir $ X = A^{-1} \times B $.