Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.
Fonction de Comptage des Premiers - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Fonction de Comptage des Premiers
Fonction de Compte des Nombres Premiers π(n)
Calcul du Nième Nombre Premier
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la fonction de comptage des nombres premiers ? (Définition)
La fonction de comptage des nombres premiers, appelée $ \pi(n) $, a pour but de dénombrer/compter les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre $ n $
Comment calculer pi(n) ?
Pour les petits nombres, la méthode la plus directe pour compter rapidement tous les premiers inférieurs à $ n $ est d'utiliser la crible d'Ératosthène afin de lister les nombres premiers.
Exemple : $ \pi(100) = 25 $ car il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.
Comment calculer une approximation de pi(n) ?
La valeur de pi(n) tend vers $ n / \ln(n) $ lorsque $ n $ tend vers l'infini (c'est à dire que $ n / \ln(n) $ est une bonne approximation de $ pi(n) $ lorsque $ n $ est très grand)
$$ \pi(n)\ \underset{ n \to \infty }{ \sim } \frac{n}{\ln(n)} $$
Cette formule est aussi appelée le théorème des nombres premiers.
A quoi sert pi(n) ?
Le calcul de pi(n) permet de positionner un nombre premier par rapport à un autre, en connaissant son rang dans la liste des nombres premiers.
Si $ \pi(a) < \pi(b) $ alors $ a < b $.
Comment avoir une approximation du nième nombre premier ?
Une conséquence du théorème des nombres premiers est que le nième nombre premier $ p_n $ est proche de $ n \ln(n) $ (et d'avantage lorsque $ n $ est très grand) $$ p_n \underset{ n \to \infty }{ \sim } n \ln (n) $$
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