Nombre de Lychrel

Un Nombre de Lychrel est un nombre entier naturel qui, lorsqu'il est soumis à une séquence d'opérations mathématiques (n + inversion des chiffres de n), ne semble jamais atteindre un palindrôme (un nombre qui se lit de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche).

Pour trouver un nombre de Lychrel :

— Prendre un nombre initial ɴ

— Inverser ses chiffres pour trouver son nombre miroir ᴎ

— Ajouter les 2 nombres ɴ+ᴎ

— Répéter le processus avec le nouveau nombre obtenu jusqu'à obtenir un palindrome ou jusqu'à conclure que le nombre pourrait être un nombre de Lychrel si aucun palindrome n'est trouvé après un nombre significatif d'itérations.

Les nombres de Lychrel sont ceux qui ne forment jamais de palindromes. La liste des nombres de Lychrel n'est pas précisément déterminée, car il est possible que certains nombres ne soient jamais prouvés comme tels. Une conjecture suppose qu'il y en existe une infinité et donc que la liste est infinie.

Voici les premiers (supposés) nombres de Lychrel (inférieurs à 10000) : 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996, 3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675, 3763, 3765, 3853, 3855, 3943, 3945, 3995, 4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4492, 4494, 4529, 4582, 4584, 4619, 4672, 4674, 4709, 4762, 4764, 4799, 4852, 4854, 4889, 4942, 4944, 4979, 5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5491, 5493, 5528, 5581, 5583, 5618, 5671, 5673, 5708, 5761, 5763, 5798, 5851, 5853, 5888, 5941, 5943, 5978, 5993, 6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6490, 6492, 6527, 6580, 6582, 6617, 6670, 6672, 6707, 6760, 6762, 6797, 6850, 6852, 6887, 6940, 6942, 6977, 6992, 7059, 7076, 7149, 7166, 7239, 7256, 7329, 7346, 7419, 7436, 7491, 7509, 7526, 7581, 7599, 7616, 7671, 7689, 7706, 7761, 7779, 7796, 7851, 7869, 7886, 7941, 7959, 7976, 7991, 8058, 8075, 8079, 8089, 8148, 8165, 8169, 8179, 8238, 8255, 8259, 8269, 8328, 8345, 8349, 8359, 8418, 8435, 8439, 8449, 8490, 8508, 8525, 8529, 8539, 8580, 8598, 8615, 8619, 8629, 8670, 8688, 8705, 8709, 8719, 8760, 8795, 8799, 8809, 8850, 8868, 8885, 8889, 8899, 8940, 8958, 8975, 8979, 8989, 8990, 9057, 9074, 9078, 9088, 9147, 9164, 9168, 9178, 9237, 9254, 9258, 9268, 9327, 9344, 9348, 9358, 9417, 9434, 9438, 9448, 9507, 9524, 9528, 9538, 9597, 9614, 9618, 9628, 9687, 9704, 9708, 9718, 9777, 9794, 9798, 9808, 9867, 9884, 9888, 9898, 9957, 9974, 9978, 9988.

Voir OEIS ici

Le plus petit nombre de Lychrel est 196. Cependant, il s'agit d'une supposition, il n'a pas encore été prouvé qu'il ne forme jamais de palindrome, malgré des millions d'itérations testées.

Tous les nombres avant 196 forment un palindrome en quelques dizaines d'itérations, mais il est possible qu'un jour quelqu'un prouve que 196 n'est pas un nombre de Lychrel (dans ce cas, probablement après des milliard d'itérations).

Un nombre retardé fait référence à un nombre qui nécessite un grand nombre d'itérations avant de former un palindrome. Environ 90 % des nombres forment un palindrome en 7 itérations ou moins.

En 2021, 2 nombres de 23 chiffres 13968441660506503386020 et 16909736969870700090800 ont été découvert après 289 iterations.

Les nombres nécessitant 0 itération sont les nombres déjà palindromes eux-mêmes.

Plusieurs nombres terminent l'algorithme en 1 itération, certains ont des formes basiques qui les rendent prévisibles :

— Tous les nombres composés uniquement de chiffres allant de 0 à 4

— Tout nombre commençant (ou finissant) par 5 et contenant uniquement des chiffres de 0 à 4.

— Tout nombre commençant (ou finissant) par 6 et contenant uniquement les chiffres de 0 à 3

— Tout nombre commençant (ou finissant) par 7 et contenant uniquement les chiffres de 0 à 2

— Tout nombre commençant (ou finissant) par 8 et contenant uniquement le chiffres 0 ou 1

— Tout nombre commençant (ou finissant) par 9 et contenant uniquement le chiffre de 0

Les Nombres de Lychrel ne sont généralement pas utilisés en dehors du domaine des mathématiques pures. Ils servent principalement comme un cas d'étude mathématique intéressant, mais ils n'ont pas d'applications pratiques connues.

Cependant, en informatique, les Nombres de Lychrel sont un cas intéressant pour explorer des propriétés de la récursivité et des itérations.

Ils suscitent également un intérêt en raison de leur nature énigmatique (rien ne prouve que 196 est bien un nombre de Lychrel) malgré leur simplicité apparente.

Fonction testant si un nombre est un nombre de Lychrel :// Pseudo-code
function isLychrelNumber(number) {
for iteration from 1 to 1000 {
number = number + reverse(number)
if (number == reverse(number)) return false
}
return true
}
// Python
def is_lychrel_candidate(n, max_iterations=1000):
for _ in range(max_iterations):
n = n + int(str(n)[::-1])
if (str(n) == str(n)[::-1]):
return False
return True


En supposant que le langage de programmation utilisé dispose déjà d'une fonction reverse() qui écrit un nombre à l'envers (en miroir).

À ce jour, aucun nombre n'a été prouvé comme étant définitivement un nombre de Lychrel.

La preuve formelle nécessiterait de montrer qu'un nombre ne peut jamais devenir un palindrome, quel que soit le nombre d'itérations, ce qui est difficile à établir mathématiquement.