Carré Magique

Un carré magique est une grille de nombres disposés de manière à ce que la somme de chaque ligne, chaque colonne et de ses diagonales soient toutes égales à une même valeur, appelée la somme magique (ou constante magique).

Les carrés magiques sont appréciés pour leur simplicité et leurs propriétés mathématiques.

Un carré magique organise les nombres de manière à ce que leur placement respecte les règles de construction qui garantissent que les sommes des lignes, des colonnes et des diagonales sont égales à la somme magique.

Les méthodes de construction varient en fonction de l'ordre du carré (nombre de rangées/colonnes).

La création de carrés magiques de taille (3,5,7 etc.) est permise par plusieurs méthodes, la plus simple est celle dite de la Loubère (méthode de l'escalier) :

Placer 1 au centre de la première ligne, puis les nombres suivant dans la case située diagonalement en haut à gauche. Si la case est en dehors du carré, imaginer que le carré s'enroule sur lui même et continuer sur l'autre extrémité (comme si la colonne de gauche se trouvait à droite de la colonne de droite, et la ligne du bas, au dessus de la ligne du haut). Si la case cible est occupée, alors continuer directement en desous de dernière case remplie.

La création de carrés magiques d'ordre pair (4,6,8, etc.) est plus compliquée et les méthodes ne sont pas universelles.

Méthode de symétrie pour les carrés de taille 4 :

— Placer les nombres naturellement de 1 en haut à gauche jusque 16 en bas à droite.

— Remplacer les nombres sur les cotés (2, 3, 5 et 9) par leur symétrique central (par rapport au centre du carré).

Les autres méthodes reposent généralement sur la création de sous-carrés impairs.

La méthode magique pour résoudre les carrés magiques est de poser les équations qui régissent chaque ligne et colonne, avec des inconnues. Les contraintes étant que les inconnues soient des nombres entiers positifs tous différents (distincts y compris des nombres déjà placés).

Les valeurs constantes $ M $ des sommes des carrés magiques ont une valeur minimale (pour des valeurs positives entières non nulles).

$$ M = n(n^2+1)/2 $$

Pour une taille 3x3, la constante minimale est 15, pour 4x4 c'est 34, pour 5x5 c'est 65, 6x6 c'est 111, puis 175, 260, …

Toute somme inférieure forcera l'utilisation soit de nombre négatifs, soit de fractions (nombres non entiers) pour résoudre le carré magique.

Les valeurs peuvent être aussi grandes que souhaitées, la somme/valeur magique maximale est donc l'infini.

Un carré panmagique, également appelé carré pandiagonal ou carré diabolique, est un type spécial de carré magique. À la différence des carrés magiques traditionnels, où seules les lignes, les colonnes et les diagonales principales ont des sommes égales, un carré panmagique possède une propriété supplémentaire : les sommes des chiffres le long de toutes ses diagonales (y compris les diagonales secondaires) sont également égales à la somme magique.

Oui, il existe des cubes magiques, leur valeur magique est $$ M = n(n^3+1)/2 $$ (qui peuvent, ou non, avoir les diagonales magiques)

Le carré de Franklin, publié en 1769 par Benjamin Franklin, est un carré semi-panmagique ayant une constante magique 260

Il s'agit d'un carré magique de 3x3 utilisé en Feng Shui qui est représenté ainsi

Le carré magique de Kaldor est un carré utilisé en économie, qui n'a rien à voir avec des chiffres ou des nombres de mathématiques mais plutôt avec des concepts de politique économique.