Outil pour explorer et visualiser l'algorithme de Kaprekar, une routine mathématique fascinante impliquant le tri et la soustraction de nombres dans un ordre particulier pour révéler des constantes comme 6174 ou 495.
Algorithme de Kaprekar - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique, Algorithme
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Algorithme de Kaprekar
Calcul par l'Algorithme de Kaprekar
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'algorithme de Kaprekar ? (Définition)
L'algorithme de Kaprekar est une procédure mathématique qui consiste à prendre un entier $ N $, à réorganiser ses chiffres en ordre décroissant et croissant, puis à soustraire les deux nombres obtenus.
Répéter cette opération (aussi appelée routine) conduit souvent à une constante ou à un cycle.
Comment calculer la suite de Kaprekar ?
— Prendre un nombre entier $ N $.
— Ordonner ses chiffres en ordre décroissant pour former le plus grand nombre possible $ N_1 $ (Tri de 9 à 0)
— Ordonner ses chiffres en ordre croissant pour former le plus petit nombre possible $ N_2 $ (Tri de 0 à 9)
— Calculer la différence $ N_1 - N_2 $
— Répéter l'opération avec le résultat obtenu jusqu'à atteindre un nombre déjà obtenu (une constante ou un cycle).
Exemple : $ N = 7533 $, $ N_1 = 3357 $, $ N_2 = 7533 $, remplacer $ N $ par $ 7533 - 3357 = 4176 $
$ N = 4176 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ puis remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $
$ N = 6174 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $, ce qui créé boucle infinie sur la constante 6174, qui est la constante de Kaprekar pour 4 chiffres.
La taille du nombre doit rester constante. Rajouter des 0 initiaux si nécéssaire.
Quels sont les constantes et les cycles de Kaprekar ?
Une constante de Kaprekar est un nombre où l'algorithme finit par converger et ne change plus.
Un cycle de Kaprekar est une séquence de nombres qui se répète indéfiniment après un certain nombre d'itérations.
Les boucles de l'algorithme sont fonction de la taille du nombre $ N $.
| Nombre de chiffres | Constante/Boucle/Cycle |
|---|---|
| 3 | 495 |
| 4 | 6174 |
| 5 | 53955, 59994 ou 62964, 71973, 83952, 74943 ou 61974, 82962, 75933, 63954 |
| 6 | 420876, 851742, 750843, 840852, 860832, 862632, 642654 ou 631764 ou 549945 |
| 7 | 7509843, 9529641, 8719722, 8649432, 7519743, 8429652, 7619733, 8439552 |
| 8 | 43208766, 85317642, 75308643, 84308652, 86308632, 86326632, 64326654 ou 64308654, 83208762, 86526432 ou 97508421 ou 63317664 |
Lorsqu'un de ces nombre est atteint, soit il reste constant, soit il suit le cycle en bouclant à l'infini.
Tous ces nombres sont divisibles par 9.
Comment prouver que 6174 est la seule constante de Kaprekar à 4 chiffres ?
La preuve mathématique de l'existence de 6174 comme seul nombre point fixe de l'algorithme est un peu longue et consiste à dénombrer quelques cas possible et prouver qu'un seul n'a pas de contradiction. La preuve : ici
Que se passe-t-il avec les nombres contenant des zéros ?
Les zéros ne changent pas le fonctionnement de l'algorithme. Si ils apparaissent au début du nombre ils peuvent être ignorés.
Exemple : $ 1000 $ devient $ 0001 $ (ou simplement $ 1 $), et la soustraction se poursuit normalement.
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- Calcul par l'Algorithme de Kaprekar
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