Outil de calcul du PPCM. Le plus petit commun multiple de deux entiers a et b, est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. Le PPCM de a et b divise tous les multiples communs de a et de b.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Calculateur de PPCM
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le PPCM ? (Définition)
Le PPCM est l'abréviation de plus petit commun multiple (ou plus petit multiple commun) de 2 nombres (ou plus). Comme son nom l'indique, pour deux nombres entiers (non nuls) $ a $ et $ b $, le PPCM est le plus petit nombre entier (strictement positif) qui soit à la fois multiple de $ a $ et multiple de $ b $.
Comment calculer un PPCM ? (Algorithme de calcul)
Méthode 1 : lister tous les multiples des nombres et trouver le plus petit multiple commun.
Exemple : Calcul du PPCM pour les nombres 10 et 12
10 a pour multiples 0,10,20,30,40,50,60,70,etc.
12 a pour multiples 0,12,24,36,48,60,72,etc.
Le plus petit commun multiple est 60.
Méthode 2 : utiliser la décomposition en facteurs premiers. Le PPCM est la multiplication des facteurs communs par les facteurs non communs
Exemple : $ 10 = 2 \times 5 $ et $ 12 = 2 \times 2 \times 3 $
Facteur commun : 2 et facteurs non communs : 2,3,5
Donc PPCM(10, 12) = $ 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 $
Méthode 3 : utiliser le PGCD et réaliser le calcul PPCM(a,b) = a * b / PGCD(a,b)
Exemple : PGCD(10,12) = 2
PPCM(10, 12) = (10 * 12) / 2 = 60
Comment calculer un PPCM de plusieurs nombres ? (PPCM de 3 nombres ou plus)
Méthode 1 : lister tous les multiples des nombres et trouver le plus petit commun.
Exemple : PPCM des nombres 10, 12 et 15
10 a pour multiples 0,10,20,30,40,50,60,70 etc.
12 a pour multiples 0,12,24,36,48,60,72 etc.
15 a pour multiples 0,15,30,45,60,75 etc.
Le plus petit commun multiple est 60.
Méthode 2 : appliquer le PPCM par 2 en utilisant la formule PPCM(a,b,c) = PPCM( PPCM(a,b), c)
Exemple : PPCM(10, 12) = 60
PPCM(10, 12, 15) = PPCM ( PPCM(10, 12) , 15 ) = PPCM(60,15) = 60
Comment calculer le plus petit dénominateur commun de fractions ?
Pour calculer des fractions et/ou mettre des fractions au même dénominateur, calculer le plus petit commun multiple des dénominateurs (la partie en dessous de la barre de fraction).
Exemple : Soient les fractions 7/8 et 15/36, leur plus petit dénominateur commun est PPCM(8,36)=72.
7/8 peut donc s'écrire 63/72 et 15/36 peut donc s'écrire 30/72.
Comment calculer le PPCM avec une calculatrice (TI ou Casio)
Les calculatrices intègrent les fonction de PPCM sous le nom de LCM (Lowest Common Multiple). Avec seulement la fonction PGCD (ou GCD), appliquer la formule :
$$ \text{P P C M}(a, b) = \frac{ a \times b} { \text{P G C D}(a, b) } $$
Comment calculer le PPCM avec un 0 zéro
0 n'a pas de multiple, car aucun nombre ne peut être divisé par zéro.
Comment calculer le PPCM avec des nombres à virgule non entiers ?
Le PPCM tel qu'il est défini mathématiquement n'a pas de sens avec des nombres à virgule. Cependant, il est possible d'utiliser cette formule : CM(a*c,b*c) = CM(a,b)*c ou CM est un commun multiple (pas forcément le plus petit) sur les nombres rationnels.
Exemple : CM(1.2,2.4) = CM(12,24)/10 = 2
Quels sont les PPCM des N premiers nombres entiers ?
Les nombres suivants ont la propriété d'avoir beaucoup de diviseurs, certains d'entre eux sont des nombres hautement composés (ploutons).
| PPCM(1,2,3)= | 6 |
| PPCM(1,2,3,4)= | 12 |
| PPCM(1,2,3,4,5)= | 60 |
| PPCM(1,2,3,4,5,6)= | 60 |
| PPCM(1,2,3…6,7)= | 420 |
| PPCM(1,2,3…7,8)= | 840 |
| PPCM(1,2,3…8,9)= | 2520 |
| PPCM(1,2,3…9,10)= | 2520 |
| PPCM(1,2,3…10,11)= | 27720 |
| PPCM(1,2,3…11,12)= | 27720 |
| PPCM(1,2,3…12,13)= | 360360 |
| PPCM(1,2,3…13,14)= | 360360 |
| PPCM(1,2,3…14,15)= | 360360 |
| PPCM(1,2,3…15,16)= | 720720 |
| PPCM(1,2,3…16,17)= | 12252240 |
| PPCM(1,2,3…17,18)= | 12252240 |
| PPCM(1,2,3…18,19)= | 232792560 |
| PPCM(1,2,3…19,20)= | 232792560 |
| PPCM(1,2,3…20,21)= | 232792560 |
| PPCM(1,2,3…21,22)= | 232792560 |
| PPCM(1,2,3…22,23)= | 5354228880 |
| PPCM(1,2,3…23,24)= | 5354228880 |
| PPCM(1,2,3…24,25)= | 26771144400 |
| PPCM(1,2,3…25,26)= | 26771144400 |
| PPCM(1,2,3…26,27)= | 80313433200 |
| PPCM(1,2,3…27,28)= | 80313433200 |
| PPCM(1,2,3…28,29)= | 2329089562800 |
| PPCM(1,2,3…29,30)= | 2329089562800 |
| PPCM(1,2,3…30,31)= | 72201776446800 |
| PPCM(1,2,3…31,32)= | 144403552893600 |
| PPCM(1,2,3…32,33)= | 144403552893600 |
| PPCM(1,2,3…33,34)= | 144403552893600 |
| PPCM(1,2,3…34,35)= | 144403552893600 |
| PPCM(1,2,3…35,36)= | 144403552893600 |
| PPCM(1,2,3…36,37)= | 5342931457063200 |
| PPCM(1,2,3…37,38)= | 5342931457063200 |
| PPCM(1,2,3…38,39)= | 5342931457063200 |
| PPCM(1,2,3…39,40)= | 5342931457063200 |
| PPCM(1,2,3…40,41)= | 219060189739591200 |
| PPCM(1,2,3…41,42)= | 219060189739591200 |
| PPCM(1,2,3…42,43)= | 9419588158802421600 |
| PPCM(1,2,3…43,44)= | 9419588158802421600 |
| PPCM(1,2,3…44,45)= | 9419588158802421600 |
| PPCM(1,2,3…45,46)= | 9419588158802421600 |
| PPCM(1,2,3…46,47)= | 442720643463713815200 |
| PPCM(1,2,3…47,48)= | 442720643463713815200 |
| PPCM(1,2,3…48,49)= | 3099044504245996706400 |
Pourquoi le PPCM de 2 nombres consécutifs est un multiple de 2 ?
Pour tout couple de 2 nombres consécutifs, un est pair et l'autre est impair, donc un seul est multiple de 2. D'après la méthode de calcul du PPCM via la décomposition en facteurs premier, alors le PPCM est forcément multiple de 2 qui est un facteur non commun aux 2 nombres.
Pourquoi le PPCM de 3 nombres consécutifs est un multiple de 3 ?
Pour tout triplet de 3 nombres consécutifs, un seul est multiple de 3. D'après la méthode de calcul du PPCM via la décomposition en facteurs premier, alors le PPCM est forcément multiple de 3 qui est un facteur non commun aux 3 nombres.
Quelle est la différence entre PPCM et PGCD ?
Le PPCM est un multiple commun à 2 nombres, qui est donc un nombre plus grand ayant pour diviseur les 2 nombres.
Le PGCD est un diviseurs communs à 2 nombres, qui est donc un nombre plus petit ayant pour multiple les 2 nombres.
Le PPCM et le PGCD sont reliés par la formule : $$ \text{P P C M}(a, b) = \frac{a \times b} { \text{P G C D}(a, b) } $$
Pourquoi calculer un PPCM ?
Le PPCM est un nombre qui est multiple de plusieurs nombres, et c'est le plus petit possible. Ceci lui confère beaucoup d'avantage mathématiques et simplifie les calculs.
Exemple : Un cercle à 360° car 360 est divisible par 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360 ce qui est très pratique.
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