Produit de Kronecker

Question 1

Comment multiplier 2 matrices avec Kronecker ?

Answer

Soit $ M_1=[a_{ij}] $ une matrice/tenseur avec $ m $ lignes et $ n $ colonnes et $ M_2=[b_{ij}] $ une matrice avec $ p $ lignes et $ q $ colonnes. Le produit de Kronecker qui se note avec un symbole : une croix entourée ⊗. $ M_1 \otimes M_2 = [c_{ij}] $ est une matrice de $ m \times p $ lignes et $ n \times q $ colonnes, avec : $$ \forall i, j: c_{ij} = a_{ij}.B $$

Exemple : $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 14 & 16 & 21 & 24 \\ 9 & 10 & 18 & 20 & 27 & 30 \\ 28 & 32 & 35 & 40 & 42 & 48 \\ 36 & 40 & 45 & 50 & 54 & 60 \end{bmatrix} $$

Ce produit n'est pas équivalent au produit matriciel classique, $ M_1 \otimes M_2 \neq M_1 \dot M_2 $

Question 2

Quelles sont les propriétés de la multiplication de Kronecker ?

Answer

Le produit de Kronecker est associatif :

$$ A \otimes (B+ \lambda\ \cdot C) = (A \otimes B) + \lambda (A \otimes C) \\ (A + \lambda\ \cdot B) \otimes C = (A \otimes C) + \lambda (B \otimes C) \\ A \otimes ( B \otimes C) = (A \otimes B) \otimes C \\ (A \otimes B) (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D) $$

Par contre le produit de Kronecker n'est pas commutatif

$$ A \otimes B \neq B \otimes A $$

Le produit de Kronecker a également des propriétés de distributivité :

— La distributivité de la transposée des matrices : $ ( A \otimes B )^T = A^T \otimes B^T $

— La distributivité de la trace des matrices : $ \operatorname{Tr}( A \otimes B ) = \operatorname{Tr}( A ) \operatorname{Tr}( B ) $

— La distributivité des déterminants des matrices : $ \operatorname{det}( A \otimes B ) = \operatorname{det}( A )^{m} \operatorname{det}( B )^{n} $

Question 3

Pourquoi cette multiplication s'appelle Kronecker ?

Answer

Le nom est un hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker.

Produit de Kronecker