Produit Vectoriel

Le produit vectoriel est une opération sur 2 vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ de l'espace 3D (non colinéaires) dont le résultat noté $ \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{w} $ (ou parfois $ \vec{u} \times \vec{v} $) est un vecteur orthogonal aux 2 premiers vecteurs.

Pour toute paire de vecteurs $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ et $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $, le calcul du produit vectoriel en composantes est donné par : $$ \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix} $$

Le calcul du produit vectoriel permet de :

— vérifier si 2 vecteurs sont colinéaires (alors leur produit vectoriel est le vecteur nul)

— calculer un vecteur orthonogal aux 2 autres et ainsi créer une base orthonogale avec les 3 vecteurs

— vérifier que 2 vecteurs sont orthogonaux

— calculer l'aire d'un parallélogramme de cotés $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ (le module du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme)

Le produit vectoriel est distributif avec l'addition :

$$ \vec{a} \wedge ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c} $$

Le produit vectoriel est distributif avec la multiplication par un scalaire :

$$ \lambda (\vec{a} \wedge \vec{b}) = \lambda \vec{a} \wedge \vec{b} = \vec{a} \wedge \lambda \vec{b} $$

Le produit vectoriel est antisymétrique :

$$ \vec{a} \wedge \vec{b} = -\vec{b} \wedge \vec{a} $$

La norme (le module) du produit vectoriel est définie par la formule :

$$ \| \vec{u} \wedge \vec{v} \| = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \left| \sin ( \widehat{ \vec{u}, \vec{v} } ) \right| $$