Sommation Σ

En mathématiques, la sommation, notée $ \sum $, est le résultat de l'addition d'une suite de nombres (ou série entière).

Le symbole ∑ est appelé l'opérateur somme, c'est un calculateur d'addition (finie ou infinie), il permet de raccourcir l'écriture de multiples + (plus).

En arithmétique, la notation de sommation $ \sum_1^n $ permet de calculer une addition finie allant de $ 1 $ jusqu'à $ n $ avec un incrément de 1 (par défaut).

Parfois la somme peut se simplifier avec une formule :

Le calcul à la main étant chronophage, certaines sommes sont intéressantes à apprendre/connaitre.

La notation $ \sum_1^\infty $ (parfois raccourcie en $ \sum $) indique le calcul d'une addition infinie allant de $ 1 $ jusqu'à l'infini $ \infty $ avec un incrément de 1 (par défaut).

La démonstration de ces sommes passe souvent par un calcul de limite ou un développement en série.

Il existe de nombreuses séries mathématiques (finies ou infinies) utiles à apprendre et connaitre, voici une liste non exhaustive :

— Les formules de Faulhaber (somme des puissances p-ième des m premiers entiers) :

$$ \sum_{k=1}^m k = 1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m+1)}{2} $$

$$ \sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6} $$

— Les valeurs particulières de la fonction Zeta de Riemann :

$$ \sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} $$

$$ \sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^4} = \zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} $$

— Les puissances et exponentielles

$$ \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots = e $$

$$ \sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} $$

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = e^z $$

$$ \sum_{k=0}^\infty k \frac{z^k}{k!} = z e^z $$

— Les fonctions trigonométriques

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin(z) $$

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!} = \cos(z) $$

— Les coefficients binomiaux

$$ \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n $$

$$ \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k = (1+z)^\alpha , \quad |z|<1 $$

— Les séries harmoniques

$$ \sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots = \ln(2) $$

$$ \sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \frac{\pi}{4} $$

La notation $ \sum \sum $ se lit $ \sum \left( \sum \right) $ donc la somme intérieure (à l'intérieur des parenthèses) est d'abord calculée en premier, avant de calculer la somme extérieure dans un second temps.

La sommation s'écrit avec l'opérateur mathématique dédié ∑ (Unicode U+2211) qui est inspiré de la lettre grecque sigma majuscule Σ (Unicode U+03A3).

En grec, sigma correspond à la lettre S (comme la première lettre de Somme).

En LaTeX, l'opérateur est \sum