Développement Limité

En mathématiques, un développement limité d'une fonction au voisinage d'un point considéré est une expression polynomiale permettant une approximation de de cette fonction. Le développement limité est donc composé d'une fonction polynomiale (somme de polynomes) et d'un reste qui est petit (ou négligeable) au voisinage du point.

Pour calculer un développement limité (DL) d'ordre $ n $ d'une fonction $ f(x) $ au voisinage d'une valeur $ a $, si la fonction est dérivable en $ a $, alors il est possible d'utiliser la formule de Taylor-Young qui décompose toute fonction en :

$$ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} + O(x^{n+1}) \\ = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + O(x^{n+1}) $$

avec $ O(x^n) $ la notation asymptotique de Landau indiquant la précision, valeur tendant à être négligeable par rapport à $ (x-a)^n $ au voisinage de $ a $.

Voici une liste des DL usuels à connaitre.

— Fonction exponentielle (exp) et fonctions logarithmes (ln ou log) :

$$ \begin{aligned} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^n+1) \\ \ln(1-x) &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \\ &= -x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \end{aligned} $$

— Fonctions puissance et racine (sqrt)

$$ \begin{aligned} (1+x)^a &= \sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n} x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n \prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}} \\ &= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + O(x^n+1) \\ (1+x)^{1/2} &= \sqrt{1+x} \\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + \cdots \\ (1+x)^{-1/2} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}} \\ &= 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots \end{aligned} $$

— Fonctions inverses

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ &= 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1+x)^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n nx^{n-1} \\ &= 1 - 2x + 3x^2 - \cdots + (-1)^n nx^{n-1} + O(x^n) \\ \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \\ &= 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} + O(x^n) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)

$$ \begin{aligned} \cos(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \\ \sin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + O(x^{2n+2}) \\ \tan(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \sec(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \cdots + \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \end{aligned} $$

avec $ E_n $ les nombres d'Euler.

— Fonctions trigonométriques complémentaires et réciproques

$$ \begin{aligned} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{2 imes 3} - \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} - \cdots - \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arcsin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} + \cdots + \frac{1 \times 3 imes 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arctan(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques hyperboliques et réciproques

$$ \begin{aligned} \cosh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + O(x^{2n+1}) \\ \sinh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + O(x^{2n+2}) \\ \tanh(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n} 4^n (4^{n}-1)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \operatorname{asinh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{2 \times 3} + \cdots +(-1)^{n} \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \operatorname{atanh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

avec $ B_n $ les nombres de Bernoulli