Conversion en Base N

La base est le nombre de chiffres distinct nécessaires pour écrire les nombres (dans un système de numération positionnelle).

Un nombre $N$ dans une base $b$ peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base $n$.

Soit un nombre $N$ composé de $n$ chiffres ${ c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_2, c_1, c_0 }$ en base $b$, alors peut l'écrire comme un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$N_{(b)} = \{ c_{n-1}, \cdots, c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + \cdots + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0$$

Pour calculer un changement de base, utiliser la base $10$ comme référence, ou comme intermédiaire.

Un nombre en base 10 s'écrit avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les autres bases, il est d'usage d'utiliser des lettres, et plus précisément les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majuscules et minuscules à partir de la base 37) afin d'écrire des nombres jusqu'en base 62.

Utiliser l'algorithme suivant pour convertir/encoder de la base $10$ à une base $n$ :

$$q_0=n; i=0; \mbox{ tant que } q_i > 0 \mbox{ faire } (r_i = q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 )$$

Le nombre converti est composé des chiffres $r_{i=0 \cdots n-1}$ obtenus (avec $r_0$ le chiffre des unités).

$$q_0 = 123 \\ r_0 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 \;\;\; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 \\ r_1 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 \;\;\; q_1 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 \\ r_2 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 \;\;\; q_2 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 \\ 123_{(10)} = 234_{(7)}$$

Pour convertir/décoder un nombre $N_1$ écrit en base $b$ en un nombre $N_2$ écrit en base $10$, utiliser le fait que le nombre $N_1$ est composé de $n$ chiffres ${ c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_1, c_0 }$ et utiliser l'algorithme suivant :

$$N_2 = c_{n-1} ; \mbox{ for } ( i=n-2 \mbox{ to } 1 ) \mbox{ do } N_2=N_2 \times b+c_i$$

Le nombre $N_2$ obtenu est alors écrit en base $10$.

$$123 = \{1,2,3\} \\ N = 1 \\ N = 1*7+2 = 9 \\ N = 9*7+3 = 66 \\ N = 123_{(7)} = 66_{(10)}$$

Donc $123_{(7)}$ est égal à $66_{(10)}$ en base $10$.

— base 2 (système binaire - base2) utilisée en informatique

— base 3 (système trinaire ou ternaire - base3)

— base 8 (système octal - base8)

— base 9 (système nonaire - base9)

— base 10 (système décimal - base10)

— base 12 (système duodécimal - base12), pour compter les heures ou les mois

— base 16 (système hexadécimal - base16) utilisée en informatique et les octets

— base 20 (système vigésimal - base20) utilisée par la numération Maya (et Aztèque)

— base 26 (système alphabétique - base26)

— base 27 (système alphabétique + caractère spécial - base27)

— base 36 (système alphanumérique - base36)

— base 37 (système alphanumérique + caractère spécial - base37)

— base 60 (système sexagésimal - base60) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et la numération babylonienne.

— base 62 (système alphanumérique complet - base62)

Toutes les bases peuvent être utilisées pour du codage informatique ou tout autre problème mathématique.