Décomposition LU

Question 1

Qu'est ce que la Décomposition LU ? (Définition)

Answer

La décomposition LU est une technique de factorisation d'une matrice carrée $ M $ en deux matrices triangulaires : une matrice triangulaire inférieure $ L $ et une matrice triangulaire supérieure $ U $ telles que $ M = L.U $.

La matrice $ L $ possède des 1 sur sa diagonale et des éléments non nuls sous la diagonale, tandis que la matrice $ U $ a des éléments non nuls au-dessus de la diagonale et sur la diagonale.

Cette méthode facilite la résolution de systèmes d'équations linéaires (algèbre) et certains calculs comme le déterminant de matrice ou l'inversion de matrice.

Question 2

Comment calculer une Décomposition LU ?

Answer

Une méthode pour trouver la décomposition LU d'une matrice est de résoudre les équations linéaires.

Exemple : Factoriser en $ L.U $ la matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = L \cdot U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix} $$ Les équations correspondantes sont : $$ \begin{aligned} 1 \cdot u_{11} + 0 \cdot 0 &= 1 \\ 1 \cdot u_{12} + 0 \cdot u_{22} &= 2 \\ l_{21} \cdot u_{11} + 1 \cdot 0 &= 3 \\ l_{21} \cdot u_{12} + 1 \cdot u_{22} &= 5 \end{aligned} $$ La résolution donne : $$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \quad U = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

Question 3

Quelles sont les conditions pour utiliser la Décomposition LU ?

Answer

Pour utiliser la décomposition LU, la matrice doit être une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes).

La matrice (ou une de ses permutations de lignes) doit être inversible. Certaines matrices peuvent nécessiter des permutations de lignes pour permettre la factorisation, ce qui donne lieu à la décomposition LU avec pivotage.

Exemple : Si $ M_{11} = 0 $ alors comme $ M_{11} = l_{11} \cdot u_{11} $, soit $ l_{11} $ soit $ u_{11} $ doit être nul, ce qui implique que $ L $ ou $ U $ est une matrice singulière (non inversible). Il est alors nécessaire de permuter les lignes de $ M $ afin que le premier élément de la matrice permutée soit différent de zéro.

Question 4

Qu'est-ce que le pivotage en Décomposition LU ?

Answer

Le pivotage en décomposition LU consiste à permuter les lignes de la matrice A pour éviter les zéros sur la diagonale principale de la matrice U.

Si un pivot est nécessaire, dCode indique la matrice de permutation $ P $ et la matrice modifiée résultante $ P.M $. Les matrices $ L $ et $ U $ trouvées sont telles que $ L.U = P.M $

Décomposition LU