Fonction d'Erreur

Question 1

Qu'est ce que la fonction d'erreur ? (Définition)

Answer

La fonction d'erreur (parfois nommée fonction d'erreur de Gauss) est notée $\operatorname{erf}$ et se définit par la formule $\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t$

La fonction d'erreur renvoie un résultat entre -1 et 1.

Exemple : $\operatorname{erf}(0) = 0$ , $\operatorname{erf}(-\infty) = -1$ , $\operatorname{erf}(+\infty) = 1$

La fonction erf est une fonction impaire

Question 2

Qu'est ce que la fonction d'erreur complémentaire ? (Définition)

Answer

La fonction d'erreur complémentaire est définie par $\operatorname{erfc}(x) = 1-\operatorname{erf}(x)$

Exemple : $\operatorname{erf}(x) + \operatorname{erfc}(x) = 1$

Question 3

Qu'est ce que la fonction d'erreur inverse ? (Définition)

Answer

La fonction d'erreur inverse est la fonction réciproque définie par $\operatorname{erf}^{-1}(\operatorname{erf}(x)) = x$

Exemple : Connaissant $\operatorname{erf}(x) = 0.1$ alors il est possible de retrouver $x = \operatorname{erf}^{-1}(0.1) \approx 0.0088625$

Question 4

Quelle est la série entière correspondant à fonction d'erreur ?

Answer

Le développement en série de erf() permet un calcul numérique rapide (aux approximations près) selon la formule : $\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( x - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + \frac{z^9}{216} + \cdots \right)$

La fonction inverse a pour développement limité : $\operatorname{erf}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \left( x + \frac{\pi}{12}x^3 + \frac{7\pi^2}{480} x^5 + \frac{127\pi^3}{40320} x^7 + \frac{4369\pi^4}{5806080} x^9 + O(x^{10}) \right)$

Question 5

Quelles sont les propriétés de la fonction d'erreur ?

Answer

L'image d'une valeur négative $-z$ est l'opposé de l'image de la valeur positive : $\operatorname{erf}(-z) = -\operatorname{erf}(z)$ (symétrie)

La dérivée de la fonction d'erreur est $\frac{d}{dz} \operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2}$

L'intégrale de la fonction d'erreur est $\int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}+x \operatorname{erf}(x) + c$

La fonction d'erreur est bornée entre -1 et 1, c'est-à-dire que $-1 \leq \operatorname{erf}(x) \leq 1$ pour tout $x$ réel.

Fonction d'Erreur

Calcul de la Valeur de la Fonction d'Erreur

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la fonction d'erreur ? (Définition)

Qu'est ce que la fonction d'erreur complémentaire ? (Définition)

Qu'est ce que la fonction d'erreur inverse ? (Définition)

Quelle est la série entière correspondant à fonction d'erreur ?

Quelles sont les propriétés de la fonction d'erreur ?

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