Outil pour évaluer la valeur de la fonction d'erreur notée erf() (error function) ou son complémentaire erfc(); utilisés en probabilité, statistique ou en physique.
Fonction d'Erreur - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Fonction d'Erreur
Calcul de la Valeur de la Fonction d'Erreur
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la fonction d'erreur ? (Définition)
La fonction d'erreur (parfois nommée fonction d'erreur de Gauss) est notée $ \operatorname{erf} $ et se définit par la formule $$ \operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t $$
La fonction d'erreur renvoie un résultat entre -1 et 1.
Exemple : $ \operatorname{erf}(0) = 0 $, $ \operatorname{erf}(-\infty) = -1 $, $ \operatorname{erf}(+\infty) = 1 $
La fonction erf est une fonction impaire
Qu'est ce que la fonction d'erreur complémentaire ? (Définition)
La fonction d'erreur complémentaire est définie par $$ \operatorname{erfc}(x) = 1-\operatorname{erf}(x) $$
Exemple : $ \operatorname{erf}(x) + \operatorname{erfc}(x) = 1 $
Qu'est ce que la fonction d'erreur inverse ? (Définition)
La fonction d'erreur inverse est la fonction réciproque définie par $$ \operatorname{erf}^{-1}(\operatorname{erf}(x)) = x $$
Exemple : Connaissant $ \operatorname{erf}(x) = 0.1 $ alors il est possible de retrouver $ x = \operatorname{erf}^{-1}(0.1) \approx 0.0088625 $
Quelle est la série entière correspondant à fonction d'erreur ?
Le développement en série de erf() permet un calcul numérique rapide (aux approximations près) selon la formule : $$ \operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( x - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + \frac{z^9}{216} + \cdots \right) $$
La fonction inverse a pour développement limité : $$ \operatorname{erf}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \left( x + \frac{\pi}{12}x^3 + \frac{7\pi^2}{480} x^5 + \frac{127\pi^3}{40320} x^7 + \frac{4369\pi^4}{5806080} x^9 + O(x^{10}) \right) $$
Quelles sont les propriétés de la fonction d'erreur ?
L'image d'une valeur négative $ -z $ est l'opposé de l'image de la valeur positive : $ \operatorname{erf}(-z) = -\operatorname{erf}(z) $ (symétrie)
La dérivée de la fonction d'erreur est $$ \frac{d}{dz} \operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2} $$
L'intégrale de la fonction d'erreur est $$ \int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}+x \operatorname{erf}(x) + c $$
La fonction d'erreur est bornée entre -1 et 1, c'est-à-dire que $ -1 \leq \operatorname{erf}(x) \leq 1 $ pour tout $ x $ réel.
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Citer comme source bibliographique :
Fonction d'Erreur sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/05/2024,
- Calcul de la Valeur de la Fonction d'Erreur
- Qu'est ce que la fonction d'erreur ? (Définition)
- Qu'est ce que la fonction d'erreur complémentaire ? (Définition)
- Qu'est ce que la fonction d'erreur inverse ? (Définition)
- Quelle est la série entière correspondant à fonction d'erreur ?
- Quelles sont les propriétés de la fonction d'erreur ?
