Domaine de Définition d'une Fonction

Une fonction $ f $ dans $ \mathbb{R} $, possède un ensemble de définition (ou domaine de définition), noté $ \mathcal{D}_f $ ou $ D_f $, qui est l'ensemble des nombres réels qui admettent une image par la fonction $ f $.

Calculer l'ensemble de définition d'une fonction dans $ \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty [ $, c'est déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction existe et celles pour lesquelles elle n'existe pas, c'est-à-dire toutes les valeurs de la variable $ x $ telles que $ f(x) $ n'est pas définie.

A partir de l'équation de la fonction

Il y a généralement 3 cas principaux de valeurs non définies (pour les fonctions réelles) :

— division par $ 0 $ (dénominateur nul), puisque $ 0 $ n'a pas d'inverse

— racine carrée négative : $ \sqrt{x} $ n'est défini que pour $ x \ge 0 $ dans $ \mathbb{R} $

— logarithme négatif : $ \log(x) $ n'est défini que pour $ x > 0 $

dCode va calculer et vérifier les valeurs sans inverse par la fonction $ f $ et renvoyer l'intervalle correspondant au domaine de définition de la fonction.

A partir de la courbe de la fonction

Il s'agit de regarder les valeurs pour lesquelles la courbe n'a pas de point. Soit parce qu'il y a une asymptote verticale, soit parce qu'il n'y a aucune valeur définie.

Afin de simplifier et raccourcir l'écriture des intervalles des domaines de définition, certains domaines sont abrégés ainsi:

$ \mathbb{R} $ est le domaine des nombres réels, aussi noté $ ]-\infty ;+\infty [ $

$ \mathbb{R^+} $ (R plus) est le domaine des réels positifs (0 inclus), aussi noté $ [0;+\infty [ $

$ \mathbb{R^-} $ (R moins) est le domaine des réels négatifs (0 inclus), aussi noté $ ]-\infty; 0] $

$ \mathbb{R^*} $ (R étoile) est le domaine des réels privé de 0, c'est à dire tous les nombres réels mais en excluant la valeur 0, aussi noté $ ]-\infty; 0[ \cup ]0;+\infty [ $

$ \mathbb{R_+^*} $ (R étoile plus) est le domaine des réels positifs (0 exclus), aussi noté $ ]0;+\infty [ $

$ \mathbb{R_-^*} $ (R étoile moins) est le domaine des réels négatifs (0 exclus), aussi noté $ ]-\infty; 0[ $

$ \mathbb{R}\backslash\lbrace{n}\rbrace $ est le domaine des nombres réels privé du nombre $ n $, aussi noté $ ]-\infty; n[ \cup ]n;+\infty [ $

Soit une fonction y = f(x) alors le nombre y s'appelle l’image de x, et x s'appelle un antécédent de y par la fonction f dans le domaine de définition D.

Le domaine d'existence et le domaine de définition d'une fonction sont identiques, c'est le même concept.

Un domaine ou un ensemble de définition sont 2 expressions qui désignent la même chose.

Il arrive parfois que ces 2 termes soient abusément utilisés pour décrire la même chose, cependant, ils ont théoriquement significations légèrement différentes.

Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est mathématiquement définie.

Le domaine de validité est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction, ou une approximation, est correcte dans un contexte donné. (Et parfois ce domaine de validité est égal au domaine de définition)