Transformation de Laplace

La transformation de Laplace est une technique mathématique qui transforme une fonction de temps continu en une fonction de variable complexe. Cette transformation simplifie l'analyse de systèmes linéaires et leurs calculs.

La transformation de Laplace d'une fonction $ f $ est notée $ \mathcal{L} $ (ou parfois $ F $), son résultat s'appelle la transformée de Laplace.

Pour toute fonction $ f(t) $ avec $ t \in \mathbb{R} $, la transformée de Laplace de variable complexe $ s \in \mathbb{C} $ est :

$$ \mathcal{L}(s) = \int_{0^-}^{+\infty}\exp(-pt) f(t) \, dt $$

Parfois la transformée est notée $ \mathcal{L}[f(t)](s) $.

En France (mais aussi en Europe) il arrive que la variable complexe $ s $ soit notée $ p $.

Le calcul de la transformée de Laplace est un calcul d'intégrale (voir définition ci-dessus). La transformation de Laplace présume que les valeurs initiales des fonctions sont nulles

Sur dCode, indiquer la fonction, sa variable (souvent $ t $ ou $ x $), et la variable complexe (souvent $ s $ ou $ p $).

La transformation de Laplace a pour propriété de convertir les intégrales en division et les dérivées en multiplication.

$$ \mathcal{L} \{ f'(t) \} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \, dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \} $$

Cette propriété permet de résoudre les équations différentielles linéaires.

La transformation de Laplace trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment :

— Traitement du signal : Pour le filtrage et l'analyse de signaux, notamment dans le domaine de la communication.

— Ingénierie électrique : Pour analyser les circuits électriques RLC et leur réponse transitoire.

— Mécanique : Pour étudier la réponse vibratoire des systèmes mécaniques et leur amortissement.

— Contrôle des processus : Pour concevoir des contrôleurs et analyser la stabilité de processus industriels.

— etc.

La transformée de Laplace s'écrit avec un L manuscrit $ \mathcal{L} $ (ou parfois avec un f majuscule : $ F $)

En LaTeX, utiliser \mathcal{L}