Discriminant d'un Polynome

Un discriminant d'un polynome est une expression permettant de connaitre le nombre et la nature des racines du polynôme.

Pour un polynome de degré deux (polynôme du second degré de type $ ax^2+bx+c $), le discriminant dénommé delta $ \Delta $ est calculé avec la formule :

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Le fait de connaitre la valeur du discriminant permet ensuite de résoudre l'équation plus facilement grâce à des formules (qui utilisent ce discriminant).

Pour un polynome de degré 3 de la forme $ ax^3+bx^2+cx+d $ la formule du discriminant est

$$ \Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd $$

Pour un polynôme de degré 1 ou 0 le discriminant n'est généralement pas calculé, sa valeur n'a pas d'intéret, elle est néanmoins parfois définie à la valeur $ 1 $.

Le discriminant agit comme un indicateur pour savoir si le polynôme a des racines réelles, distinctes ou imaginaires et leur nombre.

Pour un polynome de degré 2 si le discriminant est égal à $ 0 $, alors le polynome a une unique racine (double). Si le discriminant est positif, alors il a 2 racines réelles, et si il est négatif, il a 2 racines complexes et conjuguées.

Pour un polynôme de degré 2 de type $ ax^2+bx+c = 0 $:

Si le discriminant est positif (strictement), l'équation a 2 solutions x1 et x2 :

$$ x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} $$

Si le discriminant est nul, l'équation a une racine double :

$$ x_1=x_2 = -\frac b{2a} $$

Si le discriminant est négatif (strictement), l'équation a 2 solutions conjuguées complexes :

$$ \delta^2 = \Delta $$

$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \delta}{2a} $$

Pour les équations de degrés supérieurs (degré 3 ou 4 ou plus), la connaissance du discrimimant permet de connaitre le nombre de racines, cependant il n'existe pas de formule permettant de les retrouver à partir du discriminant.