Outil pour calculer la transformée inverse de Laplace d'une fonction, transformation très utilisée pour l'analyse de systèmes dynamiques linéaires.
Transformation Inverse de Laplace - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Transformation Inverse de Laplace
Calcul de Transformée Inverse de Laplace
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la Transformation Inverse de Laplace ? (Définition)
La transformation inverse de Laplace d'une fonction $ F $ est la fonction notée $ \mathcal{L}^{-1} $ (ou parfois $ F^{-1} $), son résultat s'appelle la transformée inverse de Laplace.
Pour toute fonction $ F(s) $ avec $ s \in \mathbb{C} $, la transformée de Laplace de variable réelle $ t \in \mathbb{R} $ est :
$$ \mathcal{L}^{-1}(t) = \frac{1}{2 i \pi} \int_{\gamma - i \cdot \infty}^{\gamma + i \cdot \infty} \exp(st) F(s) \, {\rm d} s $$
avec $ \gamma $ une constante choisie telle que l'intégration évite toute les singularités de $ F(s) $.
Parfois la transformée est notée $ \mathcal{L}^{-1}[F(s)](t) $.
En France et en Europe, la variable complexe $ s $ est parfois notée $ p $.
Si $ \gamma = 0 $ alors la transformée inverse de Laplace est identique à la transformée inverse de Fourier.
Comment calculer la transformée inverse de Laplace ?
Le calcul de la transformée inverse de Laplace est un calcul d'intégrale (voir définition ci-dessus).
Sur dCode, indiquer la fonction, la variable complexe (souvent $ s $ ou $ p $), et la variable réelle (souvent $ t $ ou $ x $).
Exemple : $ F(s) = 1/(1-s) $ et $ \mathcal{L}^{-1}[F(s)](t) = -\exp(t) $.
Comment noter/écrire la transformée inverse de Laplace ?
La transformée inverse de Laplace s'écrit avec un L manuscrit exposant -1 : $ \mathcal{L}^{-1} $
En LaTeX, utiliser \mathcal{L}^{-1}
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